\documentclass{cmi}
%\usepackage[final]{listings}
\usepackage{upgreek}
\usepackage{multirow}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{caption}  
\DeclareUnicodeCharacter{200B}{{\hskip 0pt}}

% Данные поля заполняются редакцией журнала
%\makeatletter
%\newcommand{\@volume}{}
%\newcommand{\@issue}{}
%\newcommand{\@num}{}
%\newcommand{\@pages}{}

% Подключение bib файлов
\addbblresources{biblio_ru.bib}{biblio_ru.bib}

\begin{document}

% ЗАПОЛНЯЕТСЯ АВТОРАМИ: Релевантные коды УДК статьи
% (см. http://teacode.com/online/udc/)
\classify{УДК 51.77}

\renewcommand*{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} %to make a number in end of title delete this line

\title{ ВОЗМОЖНОСТИ ПАРАЛЛЕЛИЗМА ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНОГО РЕКУРРЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ %
	%\footnote{Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (госзадание FENU-2020-0022)}%
}

\authors{М.С.А.~Аботалеб, Т.А.~Макаровских, А.В.~Панюков}

\organizations{Южно-Уральский государственный университет\\
454080 Челябинск, пр. Ленина, д.~76}

\newcommand{\emailsinsert}{\href{mailto:abotalebmostafa@bk.ru}{abotalebmostafa@bk.ru}, \href{mailto:Makarovskikh.T.A@susu.ru}{Makarovskikh.T.A@susu.ru} , \href{mailto:paniukovav@susu.ru}{paniukovav@susu.ru}}

% ЗАПОЛНЯЕТСЯ АВТОРАМИ: Дата поступления статьи в редакцию
\newcommand{\rdate}{12.08.2022}
\emails{\emailsinsert}
\redactiondate{\rdate}

\renewcommand*{\thefootnote}{\arabic{footnote}}
\setcounter{footnote}{0}

% Оформление аннотации
\begin{abstract}%
Анализ временных рядов и прогнозирование являются одной из широко исследуемых областей. Идентификация с помощью различных статистических методов, нейронных сетей или математических моделей уже давно используется в различных областях исследований от промышленности, до медицины, социальной сферы, аграрной среды. В статье рассматривается параллельный вариант алгоритма идентификации параметров квазилинейного рекуррентного уравнения для решения задачи регрессионного анализа с взаимозависимыми наблюдаемыми переменными, основанный на обобщенном методе наименьших модулей (GLDM). В отличие от нейронных сетей, широко используемых в настоящее время в различных системах прогнозирования, данный подход позволяет в явном виде получать качественные квазилинейные разностные уравнения, адекватно описывающие рассматриваемый процесс. Это позволяет повысить качество анализа изучаемых процессов. Существенным преимуществом модели, использующей обобщенный метод наименьших модулей, по сравнению с многочисленными нейросетевыми подходами является возможность интерпретации коэффициентов модели с точки зрения задачи исследования и использование полученного уравнения в качестве модели динамического процесса. Проведенные вычислительные эксперименты с использованием временных рядов показывают, что максимальное ускорение алгоритма происходит при использовании количества потоков, равного половине возможных потоков для данного устройства.

\keywords{Параллелизм, квазилинейное рекуррентное уравнение, прогнозирование, моделирование, авторегрессионная модель.}
\end{abstract}

%Образец цитирования статьи
\forcitation{Аботалеб~М.С.А., Макаровских~Т.А., Панюков~А.В. Исследование возможностей параллелизма для прогнозирования с использованием квазилинейного рекуррентного уравнения}

%Верхние колонтитулы
\markboth{Аботалеб~М.С.А., Макаровских~Т.А., Панюков~А.В.}{Исследование возможностей параллелизма\ldots}

% Заголовки разделов формируются при помощи команд  \section{}, \subsection{}, \subsubsection{}
\
\section*{Введение}
\label{sec-intro}
Анализ временных рядов и прогнозирование в настоящее время являются одной из широко исследуемых областей. Данные подходы используются как при анализе и моделировании экономических процессов, транспортных систем \bblcite{DBLP:journals/kbs/LiWZ21}, так и для исследования процессов, происходящих в технических системах \bblcite{DBLP:journals/candie/KhasheiC21}, при анализе климатических процессов и прогнозировании погодных явлений \bblcite{DBLP:journals/kbs/LiWZ21}, для прогнозирования состояния сельскохозяйственных угодий \bblcite{Supuwiningsih2018} и др.
%\cite{Supuwiningsih2018} Supuwiningsih N.N., Kadeksukerti N., Putra A., Dewanti P. Forecasting of Agricultural Production Results in South Denpasar Using Quadratic Trend Method Based GIS// International Journal of Engineering Technologies and Management Research, Vol. 5, Iss.2, 2018. DOI: 10.5281/zenodo.1186523
%\bibitem{Corpas2021} Corpas-Burgos F., Martinez-Beneito M.A. An Autoregressive Disease Mapping Model for Spatio-Temporal Forecasting// Mathematics 2021, 9, 384. DOI: 10.3390/math9040384
В 2020--2022 годах к разработке методов прогнозирования добавилось тысячи исследований о распространении заболеваемости Covid-19 по всему миру \bblcite{DBLP:journals/access/FrijiHGBM21,DBLP:journals/access/DashCGPF21,Corpas2021}.

В настоящее время накоплен большой опыт измерения вибрационных сигналов, разработки методов вибродиагностики и прогнозирования состояния и ресурса механических систем. Одним из наиболее актуальных направлений остается повышение точности и скорости определения диагностических признаков. Это относится, прежде всего, к уникальным высоконагруженным механическим системам, рассмотренным, например, в работе \bblcite{PanTyrsVibro}. Решение этой проблемы во многих случаях можно получить через динамические характеристики механических систем. Определению этих характеристик в значительной степени способствует правильный выбор диагностической математической модели, устанавливающей связь между пространством состояний объекта и пространством диагностических признаков. К ним относятся динамические модели, представленные в виде разностных уравнений, феноменологические, структурные, регрессионные модели и т.п. Выбор той или иной модели зависит от определяемых характеристик и характера анализируемого процесса.

Идентификация с помощью различных статистических методов, нейронных сетей или математических моделей уже давно используется в различных областях исследований. В настоящее время эти методы применяются не только в промышленности, но и при попытках прогнозирования развития пандемии Covid-19. Например, в работе \bblcite{Abotaleb2021} сравнивается качество прогнозирования процесса распространения инфекции с помощью разных классических моделей, описывается разработанное программное обеспечение для всех этих методов и проводятся вычислительные эксперименты с использованием временных рядов по распространению заболеваемости Covid-19 в различных регионах. Авторы приходят к выводу, что разработанную систему прогнозирования можно использовать для анализа временных рядов, описывающих и другие процессы.

Большинство прогнозов, особенно при большом количестве данных, зачастую проводится с использованием различных моделей нейронных сетей. Например, в статье \bblcite{Sirotin2020} рассматривается нейросетевая модель, с помощью которой можно прогнозировать изменение цены ферросилиция на внутреннем рынке РФ в краткосрочной перспективе. Приведенная в статье модель отличается высокой точностью прогнозирования и может быть полезна при обосновании стратегических решений в деятельности отраслевых НИИ и металлургических предприятий. В работе \bblcite{Yakubova2019} описаны эконометрические модели для определения качественного экономического показателя металлургической отрасли, производства, применимые для оценки статистических характеристик производства черных металлов и перспектив развития черной металлургии. Тем не менее, все подобные модели выглядят как волшебный черный ящик, позволяющий получить некий адекватный ответ для каких-то входных данных. Некоторые исследователи используют так называемое когнитивное моделирование для повышения качества прогнозирования с помощью нейронных сетей. Так, статья \bblcite{Neto2020} направлена ​​на сравнение эффективности когнитивных и математических предикторов временных рядов с точки зрения их точности. Эксперимент, проведенный авторами статьи, показывает, что когнитивные модели имеют по крайней мере эквивалентную точность по сравнению с моделями ARIMA. Большинство этих подходов используются для прогнозирования некоторых экономических единиц, объема производства, некоторых параметры логистики и т.~д.

Поскольку все перечисленные выше модели дают хорошую точность при краткосрочном прогнозировании, актуальна задача разработки математического подхода, позволяющего в явном виде получать качественные квазилинейные разностные уравнения (адекватно описывающие рассматриваемый процесс) в долгосрочной перспективе. Известны некоторые исследования в этой области, такие как \bblcite{Panchal2021}, где предлагаемая модель включает очистку данных, сглаживание данных и окончательные данные после предварительной обработки, которые вводятся в регрессионную модель для прогнозирования промышленного потребления электроэнергии. Но в этой статье, как и во многих других, снова рассматриваются только известные статистические методы.

 В данной работе для решения задачи регрессионного анализа с взаимозависимыми наблюдаемыми переменными рассматривается алгоритм идентификации параметров квазилинейного рекуррентного уравнения, основанный на обобщенном методе наименьших отклонений (General Least Deviation Method, GLDM). В отличие от нейронных сетей (например, \bblcite{DBLP:journals/candie/KhasheiC21}) этот подход позволяет в явном виде получать качественные квазилинейные разностные уравнения (адекватно описывающие рассматриваемый процесс).

В работе использован  алгоритм из \bblcite{PanyukovMezaalOptima}, реализованный в виде комплекса программ \bblcite{MakGit2022} для определения коэффициентов $a_1, a_2, a_3 \ldots, a_m \in \mathbb{R} $   квазилинейной авторегрессионной модели $m$-го порядка
\begin{equation}\label{equ:3-1}
y_{t}=\sum_{j=1}^{n(m)} a_j  g_j(\{y_{t-k}\}_{k=1}^{m})+ \varepsilon_t,\quad t=1,2,\dots ,T
\end{equation}
по актуальной информации о значениях переменных состояния $\{y_{t} \in \mathbb{R} \}_{t=1-m}^{T} $ в моменты времени $ t $.
Здесь $ g_j: (\{y_{t-k}\}_{k=1}^{m}) \to \mathbb{R},  j=1,2,\dots n(m) $ -- заданные $n(m)$ модельных функций; $\{ \varepsilon_t \in \mathbb{R}\}_{t=1}^{T} $ -- неизвестные ошибки.

Найденные коэффициенты $a_1,a_2,a_3\ldots,a_m\in\mathbb{R}$ в рассматриваемом случае используются для анализа количества кумулятивных случаев заражения Covid-19 в Челябинской области с 22 марта 2020 г. по 06 января 2022 г. (всего 655 дней распространения инфекции), прогнозирование дальнейшего развития процесса и обсуждение эффективности использования данной модели для прогнозирования событий, связанных с распространением Covid-19. В своем исследовании мы используем временной ряд, начиная с 22 марта 2020 г., поскольку до этой даты для рассматриваемого региона были нулевые значения. Тем не менее, данный подход можно масштабировать и на другие прикладные задачи.

Поскольку при работе с длинными временными рядами потребуются матрицы высокого порядка, для чего необходимы большие затраты памяти и времени, в работе исследована реализация \bblcite{MakGit2022} алгоритма прогнозирования, использующая параллелизм. Для исследования возможности многопоточного программирования разработанного алгоритма прогнозирования проведены  вычислительные эксперименты на двух разных ПК.

Статья организована следующим образом.
В разделе 1 введены основные обозначения, описана схема реализации модели, подробно расписан ход решения поставленной задачи, приведен алгоритм прогнозирования.
В разделе 2 описываются особенности программной реализации представленных алгоритмов с использованием распараллеливания.
В разделе 3 приводятся результаты вычислительных экспериментов для анализа ускорения алгоритма для разных наборов данных и разных вычислителей.
В заключении перечислены полученные в работе результаты, отмечены направления дальнейших исследований.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Обозначения и описание алгоритмов}
\label{sec-feel}
Рассматриваемый алгоритм работает следующим образом (см. рис. \ref{fig1}).
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=15cm]{AMPFigure.png}
\caption{Схема реализации модели}\label{fig1}
\end{figure}
%
Алгоритм GLDM \bblcite{PanyukovMezaalOptima} на входе получает временной ряд $\{y_{t} \in \mathbb{R} \}_{t=-1-m}^{T} $ длины  $T+m\geq \left(1+3m+m^2\right)$ и определяет коэффициенты $ a_1, a_2, a_3 \ldots, a_m$, решая задачу оптимизации
\begin{equation}\label{GLDMPrb}
\{a^*_j\}_{j=1}^{n(m)}= \arg \min_{ \{a_j\}_{j=1}^{n(m)} \subset \mathbb{R}}
\left[\sum_{t=1}^T\arctan \left| \sum_{j=1}^{n(m)} a_j  g_j(\{y_{t-k}\}_{k=1}^{m})   - y_t \right| \right],
\end{equation}
%
с использованием в функции потерь распределения Коши
\[
F(\xi)=\dfrac{1}{\pi}\arctan(\xi)+\dfrac{1}{2},
\]
которое имеет максимальную энтропию среди распределений случайных величин, не имеющих математического ожидания и дисперсии.

Ниже приведен пример полного набора квадратичных модельных функций для разностного уравнения порядка $m$.
\[
g_{j}(\{y_{t-k}\}_{k=1}^{m}) =y_{t-j}, \qquad j=1,2,\dots , m
\]
\begin{multline*}
g_{j}(\{y_{t-k}\}_{k=1}^{m})= y_{t-r}\cdot y_{t-s} , \  \ 1 \leq r \leq s \leq m,
\\ j=m+1,\, m+2,\, \dots ,\, n(m)=m+\mathrm{C}_{m+1}^2=m(m+3)/2.
\end{multline*}
%Очевидно, в этом случае $n(m)=2m+\mathrm{C}_{m}^2=m(m+3)/2$ .

Предиктор формирует индексированное $t=1,2,\dots , T-1,T$ семейство разностных уравнений $m$-го порядка
\begin{equation}\label{equ:diff}
  \overline{y[t]}_{\tau}=\sum_{j=1}^{n(m)} a_j^* g_j \left(\{\overline{y[t]}_{\tau-k}\}_{k=1}^{m}\right), \quad
  \quad \tau =t,t+1,t+2,t+3,\dots , T-1, T, T+1, \dots
\end{equation}
для решетчатых функций $\overline{y[t]}$ со значениями $\overline{y[t]}_{\tau}$, которые интерпретируются как построенный в момент времени $t$ прогноз для $y_\tau$.
Воспользуемся решением задачи Коши для разностного уравнения \eqref{equ:diff} при начальных условиях
\begin{equation}\label{FcsVal}
\overline{y[t]}_{t-1}=y_{t-1},\,\overline{y[t]}_{t-2}=y_{t-2},\, \dots, \, \overline{y[t]}_{t-m}=y_{t-m}, \quad t=1,2,\dots , T-1,T
\end{equation}
и определим значения функции $ \overline{y[t]} $.

Итак, имеем множество $\overline{Y}_{\tau} = \left\{ \overline{y[t]}_{\tau} \right\}_{t=1}^T$ возможного прогнозного значения $y_{\tau}$. Далее используем этот набор для оценки вероятностных характеристик величины $y_{\tau}$.

\subsection{Оценка по обобщенному методу наименьших отклонений}
Задача \eqref{GLDMPrb}, т.е. GLDM-оценка, представляет собой задачу многоэкстремальной оптимизации. GLDM-оценки устойчивы к наличию корреляции значений в $\{y_{t} \in \mathbb{R} \}_{t=-1-m}^{T} $ и (при соответствующих параметрах) лучше всего подходят для вероятностных распределений ошибок с более тяжелыми (чем у нормального распределения) хвостами \bblcite{PanTyrsVibro}. Все вышеизложенное показывает возможность решения задачи идентификации \eqref{equ:3-1} с использованием решения \eqref{GLDMPrb}.

Используем взаимосвязь между GLDM-оценками и оценками взвешенным методом наименьших отклонений \bblcite{PanWang} (WLDM-оценки) для решения задач \eqref{GLDMPrb} более высокой размерности.

В данной статье рассмотрим алгоритм оценивания GLDM \bblcite{AVP_YaAM_2019}. Начнем с алгоритма оценки взвешенного метода наименьших отклонений (Weighted Least Deviation Method, WLDM), используемого в алгоритме GLDM.

\subsection{Оценка по взвешенному методу наименьших отклонений}
Алгоритм WLDM-оценки \bblcite{PanyukovMezaalOptima} в качестве входных данных получает временной ряд $\{y_{t} \in \mathbb{R} \}_{t=1-m}^{T} $ и весовые коэффициенты $\{p_{ t} \in \mathbb{R^+} \}_{t=1}^{T} $ и вычисляет множители $$ a_1, a_2, a_3 \ldots, a_{n(m)} \in \mathbb{R} $$ путем решения задачи оптимизации
\begin{equation}\label{WLDMPrb}
\{a^*_j\}_{j=1}^{n(m)}= \arg \min_{ \{a_j\}_{j=1}^{n(m)} \in \mathbb{R}^{n(m)}}
\left[\sum_{t=1}^Tp_t\cdot \left| \sum_{j=1}^{n(m)} a_j g_j(\{ y_{t-k}\}_{k=1}^m)  - y_t \right| \right].
\end{equation}
Эта задача представляет собой задачу выпуклой кусочно-линейной оптимизации, а введение дополнительных переменных сводит ее к задаче линейного программирования
\begin{gather}
\label{equ:WLP} \sum_{t=1}^T p_t z_t  \to \min_{\substack{ (a_1,a_2,\dots,a_{n(m)})\in {\rm R}^m,  \\ (z_1,z_2,\dots,z_T)\in {\rm R}^T }} \\
\label{equ:WLP1} -z_t\leq \mathop \sum_{j=1}^{n(m)} \left[ a_j g_j(\{ y_{t-k}\}_{k=1}^m) \right]  - y_t \leq z_t , \quad  t=1,2,\dots , T, \\
\label{equ:WLP2} z_t\geq 0,\quad  t=1,2,\dots , T.
\end{gather}
%
Задача (\ref{equ:WLP})--(\ref{equ:WLP2}) имеет каноническую форму $n(m)+T$ с переменными  и $3n$ ограничениями-неравенствами, включая условия неотрицательности для переменных $z_j,\, j=1,2,\dots ,T$.

Двойственная задаче (\ref{equ:WLP}) является задача
\begin{gather}
\label{Equ:Reg7_3}  \sum_{t=1}^T \left( u_t - v_t\right) y_t \to \max_{u,v\in \mathbb{R}^{T}}, \\
\label{Equ:Reg7_3_1}\sum_{t=1}^{T}a_jg_j(\{ y_{t-k}\}_{k=1}^m)\left( u_t - v_t\right)=0,\; j=1,2,\dots ,n(m),  \\
\label{Equ:Reg7_3_2} u_t + v_t = p_t,\quad u_t,\,v_t \geq 0,\quad t=1,2,\dots , T.
\end{gather}
Введем переменные \( w_t= u_t - v_t,\ t =1,2,\dots ,T\). Условия \eqref{Equ:Reg7_3_2} подразумевают
\[
u_t=\dfrac{p_t+w_t}{2},\quad v_t=\dfrac{p_t-w_t}{2},\quad  -p_t\leq w_t\leq p_t, \quad t=1,2,\dots ,T.
\]
Поэтому оптимальное значение задачи (\ref{Equ:Reg7_3})--(\ref{Equ:Reg7_3_2}) равно оптимальному решению задачи
\begin{gather}
\label{Equ:Reg7_4}  \sum_{t=1}^T w_t\cdot y_t \to \max_{w\in \mathbb{R}^{T}}, \\
\label{Equ:Reg7_4_1}\sum_{t=1}^{T} g_j(\{ y_{t-k}\}_{k=1}^m)\cdot w_t=0 ,\; j=1,2,\dots ,n(m),  \\
\label{Equ:Reg7_4_2}-p_t\leq w_t \leq p_t, \; t=1,2,\dots ,T.
\end{gather}
%
Ограничения \eqref{Equ:Reg7_4_1} определяют $(T-n(m))$-мерное линейное подпространство ${\mathcal L}$ с матрицей
\[
S = \left[
\begin{array}{cccc}
g_1(\{y_{1-k}\}_{k=1}^{m}) & g_1(\{y_{2-k}\}_{k=1}^{m}) & \dots  & g_1(\{y_{T+1-k}\}_{k=1}^{m}) \\
g_2(\{y_{1-k}\}_{k=1}^{m}) & g_2(\{y_{2-k}\}_{k=1}^{m}) & \dots  & g_2(\{y_{T+1-k}\}_{k=1}^{m}) \\
\vdots                     & \vdots                     & \ddots & \vdots                       \\
g_{n(m)}(\{y_{1-k}\}_{k=1}^{m}) & g_{n(m)}(\{y_{2-k}\}_{k=1}^{m})  & \dots &  g_{n(m)}(\{y_{T+1-k}\}_{k=1}^{m})
\end{array}
\right]
\]
Ограничения \eqref{Equ:Reg7_4_2} определяют $T$-мерный брус ${\mathcal T}$.
%
Простая структура допустимого множества задачи \eqref{Equ:Reg7_4}--\eqref{Equ:Reg7_4_2}: пересечение $(T-n(m))$-мерного линейного подпространства $\mathcal{L}$~\eqref{Equ:Reg7_4_1} и $T$-мерного бруса $\mathcal{T}$\eqref{Equ:Reg7_4_2}, -- позволяют найти решение алгоритмом, использующим проекцию градиента целевой функции \eqref{Equ:Reg7_4} (т.е. вектор $\nabla = \{{y_t}\}_{t=1}^T$ ) на допустимой области $\mathcal{L} \cap \mathcal{T} $, которая определяется формулой ограничения \eqref{Equ:Reg7_4_1}--\eqref{Equ:Reg7_4_2}.
%
Матрица оператора проектирования на $\mathcal{L}$ имеет вид
$$
S_{\mathcal L}=E - S^T \cdot\left( S\cdot S^T \right)^{-1}\cdot S ,
$$
а проекция градиента на ${\mathcal L}$ равна $\nabla _{\mathcal L}= S_{\mathcal L}\cdot \nabla $.
Кроме того, если внешняя нормаль на какой-либо грани бруса образует острый угол с проекцией градиента $\nabla _{\mathcal{L}}$, то перемещение по этой грани равно нулю.

Алгоритм {\bf DualWLDMSolver} решает задачу \eqref{Equ:Reg7_4}--\eqref{Equ:Reg7_4_2}, он начинает поиск оптимального решения с нуля, двигаясь по направлению $\nabla _{\mathcal L}$. Если текущая точка попадает на грань бруса ${\mathcal T}$, то соответствующая координата в направлении движения принимается равной нулю. Вычислительная сложность такого алгоритма не превышает величины \(O( T^2)\) благодаря простой структуре допустимого множества: пересечение $T$-мерного кубоида \eqref{Equ:Reg7_4_2} и $(T-n(m ))$-мерного линейного подпространства~\eqref{Equ:Reg7_4_1}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Если $\left(w^*,\, R^*\right)$ --- результат выполнения алгоритма проектирования градиента, то $w^*$ --- оптимальное решение задачи (\eqref{Equ:Reg7_4} )--(\eqref{Equ:Reg7_4_2}), а оптимальное решение задачи \ref{Equ:Reg7_3}--\ref{Equ:Reg7_3_2} равно
\[
u^*_t=\dfrac{p_t+w^*_t}{2},\quad v^*_t=\dfrac{p_t-w^*_t}{2},\quad t=1,2,\dots ,T.
\]

\subsection{Решение прямой задачи}
Решение прямой задачи следует из условия дополнительности для пары взаимно двойственных задач
\eqref{equ:WLP}--\eqref{equ:WLP2} и \eqref{Equ:Reg7_3}--\eqref{Equ:Reg7_3_2}
\begin{gather}
\label{Equ:Reg7_2_5_1} y_t = \sum_{j=1}^{n(m)} \left[ a_j g_j(\{ y_{t-k}\}_{k=1}^m) \right]
\qquad \forall t\notin R^*,\\
\label{Equ:Reg7_2_5_2} y_t = \sum_{j=1}^{n(m)} \left[ a_j g_j(\{ y_{t-k}\}_{k=1}^m) \right] +z^*_t,
\quad	\forall t\in R^*:\, w^*_t=p_t ,  \\
\label{Equ:Reg7_2_5_3} y_t = \sum_{j=1}^{n(m)} \left[ a_j g_j(\{ y_{t-k}\}_{k=1}^m) \right]-z^*_t,
\quad \forall t\in R^*:\, w^*_t=-p_t .
\end{gather}

Фактически решение $(\{a^*_j\}_{j-1}^{n(m)}, z^*)$ системы линейных алгебраических уравнений \eqref{Equ:Reg7_2_5_1}--\eqref {Equ:Reg7_2_5_3} представляет собой оптимальное решение двойственной задачи \eqref{Equ:Reg7_4}--\eqref{Equ:Reg7_4_2} и оптимальное решение задачи \eqref{WLDMPrb}, что доказывает справедливость следующей теоремы.
\begin{theorem}
Пусть \(w^*\) --- оптимальное решение задачи \eqref{Equ:Reg7_4}--\eqref{Equ:Reg7_4_2}, \newline $(\{a^*_j\}_{j-1} ^{n(m)}, z^*)$ --- решение системы линейных алгебраических уравнений \eqref{Equ:Reg7_2_5_1}--\eqref{Equ:Reg7_2_5_3},
\newline тогда $(\{a^*_j\}_{j-1}^{n(m)}$ --- оптимальное решение задачи \eqref{WLDMPrb}.
\end{theorem}\label{l:PanMez1}

Вышеизложенное позволяет нам предложить алгоритм WLDM-оценки. Основной проблемой при использовании этого алгоритма является отсутствие общих формальных правил выбора весовых коэффициентов. Следовательно, такой подход требует дополнительных исследований.

Установленные в \bblcite{AVP_YaAM_2019} результаты позволяют свести задачу определения GLDM-оценки к итерационной процедуре с WLDM-оценками.

\subsection{Алгоритм оценки по обобщенному методу наименьших отклонений}\label{GLDM-Sec}
Задача \eqref{GLDMPrb} оценки GLDM является задачей вогнутой оптимизации.
GLDM-оценки устойчивы к наличию корреляции значений в \(\{S_{j\,t}:\ t=1,2,\dots,T;\; j=1,2,\dots,N \}\), и (с соответствующими настройками) как лучший для вероятностных распределений ошибок с более тяжелыми (чем у нормального распределения) хвостами \bblcite{PanTyrsVibro}. Вышеизложенное показывает возможность решения задачи идентификации \eqref{equ:3-1} путем решения последовательности задач \eqref{Equ:Reg7_2_5_1} с соответствующими весами.
%
Установленные в \bblcite{AVP_YaAM_2019} результаты позволяют свести задачу определения GLDM-оценки к итерационной процедуре с WLDM-оценками.
\begin{theorem}\label{th:3}
Последовательность $\{ \left( A^{(k)}, z^{(k)} \right) \}_{k=1}^{\infty}$, построенная по алгоритму GLDM-оценки, сходится к глобальному минимуму $\left( a^*, z^* \right)$ задачи \eqref{GLDMPrb}.
\end{theorem}
Описание алгоритма {\bf GLDM-оценка} показывает, что его вычислительная сложность пропорциональна вычислительной сложности алгоритма решения простых и/или двойственных задач WLDM \eqref{WLDMPrb}.
Многочисленные вычислительные эксперименты показывают, что среднее число итераций алгоритма {\bf GLDM-оценки} равно количеству коэффициентов в идентифицированном уравнении.
Если эта гипотеза верна, то вычислительная сложность решения практических задач не превышает $O(\left(n(m)\right)^3T+n(m)\cdot T^2)$.
Необходимо учитывать, что поиск и нахождение уравнения авторегрессии высокого порядка имеют свои специфические условия. Одним из таких условий, в частности, является высокая чувствительность алгоритма к ошибкам округления. Для исключения возможности ошибки в вычислениях необходимо точно выполнять основные арифметические операции над полем рациональных чисел \bblcite{PAV-RC-2013} и дополнять их параллельным программным кодом.

\subsection{Алгоритм прогнозирования}
Предиктор формирует индексированное $t=1,2,\dots , T-1,T$ семейство разностных уравнений $m$-го порядка \eqref{equ:diff} для решетчатых функций $ \overline{y[t] } $ со значениями $ \overline{y[t]}_{\tau}$ и интерпретируется как построенный на момент времени $t$ прогноз для $y_\tau$.
Воспользуемся решением задачи Коши для ее разностного уравнения \eqref{equ:diff} при начальных условиях \eqref{FcsVal}, чтобы найти значения функции
$\overline{y[t]} $.

Итак, у нас есть множество $\overline{Y}_{\tau} = \left\{ \overline{y[t]}_{\tau} \right\}_{t=1}^T$ возможного предсказания значения $y_{\tau}$. Далее мы используем этот набор для оценки вероятностных характеристик величины $y_{\tau}$.

Схема алгоритма приведена на рис. \ref{figForc}.
\begin{figure}[ht]
\includegraphics[width=9cm]{FST1200.png}
\caption{Схема алгоритма прогнозирования}\label{figForc}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[height=10cm]{mainscheme.png}
\caption{Последовательность вызова функций из основной функции программы}\label{fig2}
\end{figure}

\section{Программная реализация}
В рассматриваемой программе используется распараллеливание средствами OpenMP, что предполагает модель параллельного программирования SPMD. В этом случае для всех параллельных потоков используется один и тот же код, а в программу вставляются специальные директивы. Программа имеет последовательные области, когда выполняется один процесс (поток), а при входе в параллельную область порождается определенное количество процессов, между которыми в дальнейшем распределяются части кода. Максимально возможное количество потоков в рассматриваемой программе определяется с помощью функции \verb#omp_get_max_threads()# в зависимости от ресурсов компьютера, на котором запущена программа. В вычислительном эксперименте, представленном в следующем разделе, программа запускается с количеством потоков от 1 до максимально возможного значения для конкретного компьютера.

На рис.~\ref{fig2} приведена последовательность вызова разработанных процедур из функции { \verb# void main()# }, используемая для запуска алгоритма. Листинги всех функций, вызываемых из \verb#main()#, приведены в \bblcite{MakGit2022}.
%
В разработанной программе распараллелено выполнение всех циклов один за другим.
Циклы, которые не могут быть адекватно распараллелены и остаются последовательными областями: (1) первый цикл функции решения прямой задачи WLDM; (2) базовый цикл \verb#do... while# алгоритма оценки GLDM (вложенные циклы распараллелены). Все остальные циклы могут выполняться как параллельные участки.

Функция прогнозирования \verb#ForecastingEst()# (схема алгоритма приведена на рис. \ref{figForc}) не может быть адекватно распараллелена, поскольку в ней осуществляется расчет рекуррентной последовательности значений. Возможности параллельных вычислений могут быть использованы только во вложенном цикле, где осуществляется вычисление значения в заданной точке временного ряда. Тем не менее, такое использование не представляется разумным, поскольку число коэффициентов модели не велико. Потому единственный цикл, в котором использованы директивы OpenMP, -- это цикл, отвечающий за поиск надежного горизонта прогнозирования, который заключается в поиске минимального значения в массиве. В результате работы этой функции формируется массив \verb#PY[][]#\, каждый элемент которого равен значениям решеточных функций $ \overline{y[t]}_{\tau} $ семейства разностных уравнений $m$-го порядка \eqref{equ:diff}. Используя этот массив, можно получить значения ошибок $MBE$ (равна сумме ошибок предсказания \verb#Y[i]# по значениям \verb#Y[i-T-1]# и \verb#Y[i-T]#) и $MAE$ (равна сумме абсолютных ошибок предсказания \verb#Y[i]# по значениям \verb#Y[i-T-1]# и \verb#Y[i-T]#):
$$MBE=\sum_{t=3}^{T_R}\left(\overline{y[t]} - \overline{y[t]}_{\tau} \right), \qquad
MAE=\sum_{t=3}^{T_R}\left| \overline{y[t]} - \overline{y[t]}_{\tau} \right|,$$
где $T_R$ -- надежный горизонт прогнозирования, т.е. $$T_R=\min \left\{\tau :\, z>\left| \overline{y[t]} - \overline{y[t]}_{\tau} \right|\right\}.$$

%Здесь, в переменной \verb#t# хранится текущий горизонт прогнозирования, переменная \verb#Strt# хранит стартовую позицию, \verb#Et=St+T-1# -- конечную позицию при построении прогноза. Переменная \verb#FH# используется для хранения доверительного горизонта, а \verb#minFH# хранит минимальное значение \verb#FH[t]# для всех \verb#t<Strt#.





\section{Вычислительные эксперименты. Анализ ускорения работы алгоритма при распараллеливании процесса вычислений}
При проведении экспериментов были использованы два временных ряда.
\begin{enumerate}
\item Временной ряд, содержащий кумулятивные данные по случаям заражения вирусом Covid-19 в Челябинской области. В эксперименте рассматриваются векторы разной длины, самый длинный из которых имеет 655 значений. График процесса показан на рис. \ref{figCovid}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=13cm]{CumulativeCases.png}
\caption{Прирост числа кумулятивных случаев Covid-19 по Челябинской области \quad  (данные с 23.03.2020 по 06.01.2022)}\label{figCovid}
\end{figure}
\item Один из рядов лаборатории OikoLab (https://oikolab.com), который содержит почасовые климатические данные рядом с университетом Монаш, Клейтон, Виктория, Австралия, с 01 января 2010 г. по 31 мая 2021 г. Длина ряда порядка $10^5$ значений.
\end{enumerate}
Полученные средние ошибки прогноза разработанной модели для ряда (1) составляют $MBE=1,615210\cdot 10^{-1}$ и $MAE=9,852680\cdot 10^{-1}$ при доверительном горизонте реализации 645 дней. Этот результат лучше результатов, полученных с помощью классической статистической модели и модели нейронных сетей, поскольку наша модель позволяет получить долгосрочный прогноз (тем не менее, ARIMA, линейная модель Хольта---Уинтерса, NNAR, LSTM позволяют получать хорошие прогнозы только на 30--60 дней, т.к. это было показано в вычислительных экспериментах, описанных в \bblcite{Abotaleb2021IEEE}).
%%%% Привести график прогнозов разными моделями и разработанной

Исследуем время выполнения и ускорение при распараллеливании для векторов длиной 150, 300, 500 и 655 элементов.
Эксперименты проводились на двух персональных компьютерах. Для компьютера Intel Core i7-4770, 3.4GHz, RAM 16Gb программа определила максимальное количество потоков равное 8, а для компьютера Intel Core i5-2430M, 2.4 GHz, RAM 4 Gb --- 4 потока. Для нашего эксперимента зафиксируем количество потоков, равное 8 для обоих компьютеров. Время выполнения разработанной программы для разного количества $N$ потоков показано в таблице \ref{tableExp}.
\begin{table}
\caption{Время вычислений для разного количества потоков и длин векторов}\label{tableExp}
{\small
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\centering
\multirow{2}{*}{$N$ }&  \multicolumn{8}{c|}{Количество нитей }\\
\cline{2-9}
&  1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\
\hline
\multicolumn{9}{|c|}{Intel Core i7-4770, 8 Gb ОЗУ, 8 ядер } \\
\hline
150 & 0.0970& 0.0690& 0.0490& 0.0420& 0.0320& 0.0300& 0.0420& 0.0300\\
\hline
300& 0.236& 0.164& 0.131& 0.102&0.114&0.099&0.091& 0.107\\
\hline
500& 0.624& 0.411& 0.353& 0.347& 0.317&0.249& 0.232&0.229\\
\hline
655& 1.05& 0.76&0.63& 0.57&0.45&0.41&0.38&0.38\\
\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\multicolumn{9}{|c|}{ Intel Core i5-2430M, 4 Gb ОЗУ, 4 ядра } \\
\hline
150& 0.642& 0.461& 0.449& 0.421& 0.424& 0.421& 0.419&0.417\\
\hline
300&  2.46& 1.77& 1.73& 1.64&1.64&1.63&1.63& 1.62\\
\hline
500&  6.67& 4.85& 4.72& 4.49& 4.51& 4.49& 4.46& 4.50\\
\hline
655& 11.47& 8.33& 8.15& 7.71& 8.30& 7.76& 7.68& 7.62\\
\hline
\end{tabular}
}
\end{table}
На рис. \ref{figComp1} приводится полученное ускорение при вычислении рассматриваемых временных рядов для прогнозирования заболеваемости Covid-19 на двух исследуемых персональных компьютерах.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=11cm]{speedupCovid.png}
\caption{График ускорения работы параллельной версии программы для временных рядов на исследуемых вычислительных ресурсах}\label{figComp1}
\end{figure}
При рассмотрении более длинных временных рядов, например, ряда (2), получим график, приведенный на рис.~\ref{figComp2}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{SpeedUP.png}
\caption{График ускорения работы параллельной версии программы для временных рядов разной длины на компьютере с процессором Intel Core i7-4770}\label{figComp2}
\end{figure}
Эксперименты показывают, что в лучшем случае имеем ускорение в 3.2 раза на персонльном компьютере, позволяющем получить 8 нитей. В среднем ускорение составляет величину 2.7 раз. Проведение экспериментов на более мощных вычислителях не оправдано, поскольку для временных рядов даже размерности порядка $10^3-10^5$ элементов возникают значительные накладные расходы (см. рис. \ref{figNeuroComp1}). 
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{Neurocomp.png}
\caption{Графики ускорения вычислений при использовании вычислительного комплекса <<Нейрокомпьютер ЮУрГУ>> для анализа временных рядов разной длины}\label{figNeuroComp1}
\end{figure}
Еще одним из возможных применений данного алгоритма является анализ урожайности сельскохозяйственных угодий на основании снимков, полученных с помощью аэрофотосъемки. В данном случае будем за один посевной сезон иметь относительно короткие временные ряды (порядка 50---60 точек), тем не менее, количество таких рядов будет равно числу участков, обладающих определенными свойствами, описывающих отдельно взятое поле. Тогда параллелизм можно использовать не для самого алгоритма получения коэффициентов модели и построения прогнозов, а для разделения по потокам различных временных рядов. Такое распараллеливание, очевидно, будет более эффективным при использовании не только персональных компьютеров, но и более мощных вычислительных ресурсов. Данный вопрос является темой отдельного исследования.

%\subsection{Анализ ошибок прогнозирования}
%Рассмотрим временной ряд длиной, содержащий информацию о количестве выявленных случаев Covid-19 за день в Челябинской области. Первые 888 значений этого ряда были использованы для построения модели с использованием разработанного авторами статьи подхода.
%График рассмотренного процесса, график полученных прогнозных значений на 14 дней и график тестовых значений приведены на рис. \ref{fig888}. 
%\begin{figure}[htb]
%\includegraphics[width=14cm]{fig888.png}
%\caption{Результаты применения модели GLDM для прогноза ежедневных выявленных случаев заражения Covid-19 в Челябинской области (888 дней)}\label{fig888}
%\end{figure}
%Здесь оранжевый график содержит данные измерений (исходные данные), зеленый -- фактические значения временного ряда в тестовом периоде, таким образом, совокупность данных, представленных оранжевым и зеленым графиками -- это реальные данные. При сравнении результатов прогнозирования с использованием как разработанного алгоритма, так и других статистических подходов использовались точки зеленого графика. Таким образом, что для ARIMA, BATS, TBATS и прочих конкурентов точки оранжевого цвета представляют собой обучающую выборку, а точки зеленого цвета -- тестовую. Синим цветом изображен график, состоящий из модельных данных, восстанавливающих процесс с использованием рассмотренного в статье подхода, а желтым цветом -- полученный с помощью разработанного алгоритма прогноз. Таким образом, совокупность данных, представленных синим и желтым графиками -- это данные, синтезированные в рамках эксперимента с использованием рассмотренного в статье подхода и точность прогнозирования подхода авторов, отраженная в табл. \ref{tabExp}, измерена на совокупности точек синего и желтого цветов. 

%Используем эти данные для сравнения погрешностей прогнозирования с результатами, полученными для известных статистических моделей, основанных на экспоненциальном сглаживании (ARIMA, BATS\footnote{BATS -- это аббревиатура ключевых функций модели: преобразование \textbf{Б}окса-Кокса, ошибки \textbf{A}RMA, \textbf{т}ренд и \textbf{с}езонные компоненты.}, модель Хольта---Уинтерса), а также гибридного подхода \cite{AbotalebSTAT2023} (см. табл.\ref{tabExp}). 

%В частности, для получения прогноза при помощи модели ARIMA \cite{Aivazyan2001} была выбрана модель с параметрами $p=5$, $d=1$, $q=0$. Оптимальные параметры для рассматриваемых данных были подобраны автоматически, программная реализация автоматического подбора параметров модели приведена в \cite{Abotaleb2020}. Параметры моделей BATS и TBATS, впервые описанных в \cite{BATS2010}, также подбираются автоматически при помощи встроенного модуля языка R. Аналогичным образом подобраны и параметры известной по достаточно большому числу исследований в области прогнозирования модели Хольта---Уинтерса (модели двойного экспоненциального сглаживания) \cite{Winters1960,Lukashin2003}: параметры сглаживания $\alpha = 0.733$, $\beta  = 0.1454$; параметр преобразования Бокса---Кокса: $\lambda= 0.3544$; начальные значения $l = -2.9114$, $b = 0.0599$; $\sigma=0.8429$; Информационный критерий Акаике (AIC)\footnote{Критерий для оценки качества предсказаний модели на тестовой выборке при известном качестве на обучающей выборке при условии, что модель настраивалась по методу максимального правдоподобия.} -- $5723.704$. В R подбор параметров осуществляется при помощи функции \texttt{ets()} в пакете прогнозирования. Эта функция использует алгоритм выбора параметров исследуемой модели. Лучшей моделью считается та, которая минимизирует скорректированный информационный критерий Акаике (AICc) -- меру, учитывающую как качество соответствия, так и простоту модели. Поэтому параметры $\alpha$ и $\beta$ в модели Хольта---Уинтерса выбираются так, чтобы обеспечить хорошо сбалансированный компромисс между подгонкой заданных данных и сохранением максимально простой модели. Исследование качества подбора параметров модели для других наборов данных приведено одним из авторов статьи в \cite{abotaleb2021estimation}. Результаты прочих вычислительных экспериментов с исследуемым временным рядом приведены в \cite{AbotalebGit2022}.

%Нейросетевые модели, использованные для сравнения, были получены авторами самостоятельно. Это модели с достаточно очевидной архитектурой. В таблице \ref{tabExp} приводится анализ наиболее широко используемых моделей (две модели с долговременной кратковременной памятью (LSTM), двунаправленная LSTM (BDLSTM) и сеть Gated Recurrent Unit (GRU)). %Модель LSTM имеет гиперпараметры, включая размер пакета 10, 300 эпох, значение look\_back 5, 150 единиц и размер окна 3. Модель LSTM имеет меньший размер пакета 5, меньше эпох (200), но больше количество единиц (300). Модель BDLSTM характеризуется более высоким значением look\_back (20) и большим размером окна (10) с тем же размером пакета, что и у стандартной LSTM, но меньшим количеством эпох (200). Модель GRU поддерживает тот же размер пакета, что и модели LSTM и BDLSTM, но с большим количеством эпох (400), тем же значением look\_back, что и модель LSTM, и промежуточным количеством единиц (150). 
%Применение GridSearchCV (библиотеки sklearn) к этим моделям с их указанными в таблице \ref{tabHP} гиперпараметрами позволяет систематически исследовать различные комбинации и определять набор гиперпараметров, обеспечивающих наилучшую производительность для каждой модели. 

%\begin{table}[htb]
%\caption{Анализ ошибок различных статистических моделей, моделей машинного обучения и GLDM-модели}\label{tabExp}
%{\small
%\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
%\hline
%Модель & MSE& RMSE& MAE & %FA & 
%RRMSE %& $r$ 
%\\
%\hline
%ARIMA(5,1,0) & 5189410.3768 & 2278.0277 & 2211.0906  &% 0.7221 FA & 
%5.6321  %& 0.8498 
%\\
%\hline
%BATS (1, {5,2}, -, -) & 3206709.0596  & 1790.7286& 1732.6412  &% 0.9047 FA &
%4.4273 %& 0.9512  
%\\
%\hline
%TBATS (1, {0,0}, 1, {<6,2>})& 227.5844& 15.0859 & 13.6875 &% 0.9182 FA & 
%0.0463 %& 0.9582 
%\\
%\hline
%Holt  & 372.1084 & 19.2901& 17.6412 &% 0.865 FA  &
% 0.0593 %& 0.9301 
% \\
%\hline
%Hybrid classical models  & 232.6415 & 15.2526 &11.8957  &% 0.8345 FA &
% 0.0469 %& 0.9135  
% \\
%\hline
%LSTM&285.25& 16.89 &9.19 &%1.00 FA&
% 0.043%&1.00
% \\
%\hline
%LSTMs&1873.87  &43.29 &16.73 &%0.99 FA &
%2.27%&1.00
%\\
%\hline
%BDLSTM&150.81  &12.28 &7.23 &%1.00 FA &
% 0.62 %&1.00
% \\
%\hline
%GRU&84.80  & 9.21& 3.52&% 0.9999 FA &
% 0.47%&1.00
% \\
%\hline
%GLDM& \textbf{34.04}& \textbf{5.83}&\textbf{0.985}&%\textbf{0.9999}&
%\textbf{0.01}%&\textbf{1}
%\\
%\hline
%\end{tabular}
%}
%\end{table}


%\begin{table}[htb]
%\caption{Полученные при использовании GridsearchCV параметры для моделей машинного обучения}\label{tabHP}
%{\small
%\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
%\hline
%\text{Модель} & Размер партии & Эпох & look\_back & Единиц &  Окно\_size \\
%\hline
%LSTM& 10& 500& 3 &100&3\\
%\hline
%LSTMs& 5 & 200 &3  & 300&3\\
%\hline
%BDLSTM& 10 & 200  &20  &200 &10\\
%\hline
%GRU& 10 & 400 & 3 &150 &3\\
%\hline
%\end{tabular}
%}
%\end{table}

%Для сравнения использованы следующие известные меры.
%\begin{itemize}
%\item Среднеквадратическая ошибка (MSE), равная среднему арифметическому квадратов разностей между предсказанными и реальными значениями модели, используется когда требуется подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, которая дает меньше именно больших ошибок, поскольку большие значения ошибок становятся заметнее за счет квадратичной зависимости. в первом столбце табл.\ref{tabExp} видно, что значение данной ошибки для построенной модели на два порядка ниже ошибок остальных исследуемых моделей.
%\item Корень из среднеквадратической ошибки (RMSE) минимизируется с помощью того же функционала, что и MSE, и сравнение моделей с помощью этой метрики дает тот же результат, что и MSE, однако этот показатель можно считать чувствительным к аномальным значениям (большие ошибки оказывают непропорционально большое влияние на RMSE), потому целесообразно рассчитать и этот показатель.
%\item Средняя абсолютная ошибка (MAE), равная среднму абсолютных разностей между наблюдаемым и предсказанным значениями, является линейной оценкой, что позволяет одинаково взвесить в среднем все ошибки.
%\item Точность прогнозирования (FA), равная $$FA=1-MAPE=1-\frac{1}{n}\cdot \sum_{t=1}^{n}\frac{|y_t-Y_t|}{y_t},$$ где $y_t$ -- фактическое значение; $Y_t$ -- прогнозное значение, причем, значения близкие к 1 указывают на высокое качество прогноза. Обратим внимание, что в табл.\ref{tabExp} значение этого параметра для рассматриваемой модели близко к 1, что означает высокое качество разработанной модели.
% инвериантен к масштабу данных и равен отношению  среднеквадратической ошибки оцениваемой модели к среднеквадратической ошибке модели, в которой присутствует только константа. Коэффициент принимает значения из промежутка $R^2\in (-\infty; 1)$, причем, значения близкие к 1 указывают на высокую степень соответствия модели данным. Обратим внимание, что в табл.\ref{tabExp} значение этого параметра для рассматриваемой модели принимает значение 1, что означает высокое качество разработанной модели. 
%\item Относительная среднеквадратическая ошибка (RRMSE) нормализует среднеквадратичную ошибку (RMSE) по среднему значению наблюдений и принимает значения из промежутка $(0; +\infty)$. Чем ниже данный показатель, тем производительность прогнозирования выше.
%\item Корреляция Пирсона при распространении ошибок $r$.
%\item Средняя байесовская оценка (MBE) -- статистическая оценка, минимизирующая апостериорное математическое ожидание функции потерь.
%\end{itemize}

%Рассматриваемый процесс не является ни монотонным, ни колебательным, он имеет как незначительные всплески, так и достаточно высокие пиковые значения. По графику и представленной таблице видно, что алгоритм GLDM с высокой точностью полностью восстановил данный процесс с помощью вычисленных коэффициентов с первого до последнего дня имеющихся в распоряжении данных (причем воспроизвел и аномальный пик, связанный с возникномением в феврале 2022 года штамма <<омикрон>>), а затем получил прогноз на ближайшие 30 дней (на графике на рис. \ref{fig888} зеленым цветом приведены актуальные значения статистики заражений вирусом в те дни, для которых получен прогноз). Из таблицы \ref{tabExp} и рис. \ref{fig888} видно, что рассмотренная в статье модель позволяет получить лучшие результаты и более низкие ошибки по сравнению с известными подходами.%, а значение $FA=0.9999$ означает, что модель эффективна для определения коэффициентов динамического процесса. 
%Результаты прочих вычислительных экспериментов приведены в \cite{AbotalebGit2022}. В качестве темы отдельного исследования можно было бы рассмотреть и построение модели машинного обучения, превосходящей описанный детерминированный подход, но данное исследование представляется авторам нецелесообразным, поскольку использование высококачественных детерминированных подходов является наиболее приоритетным.

\section*{Заключение}
%Говоря о качестве самой модели, можно отметить, что она работает не хуже нейросетевых моделей или классических статистических моделей, что подтверждается и проведенным экспериментом, в котором были сравнены результаты работы рассмотренной модели и результаты, полученные с помощью известных нейросетевых моделей. 
У модели, использующей обобщенный метод наименьших модулей (GLDM) есть одно существенное преимущество по сравнению с многочисленными нейросетевыми подходами, заключающееся в возможности интерпретировать коэффициенты модели с точки зрения задачи исследования. %Проведенное нами тестирование этой модели на данных о кумулятивных случаях заражения вирусом Covid-19 в Челябинской области показало, что ошибка прогноза меньше, чем для нейросетевых моделей. 
Поскольку для запуска разработанного алгоритма необходимо использовать матрицы высокого порядка, полезно распараллелить алгоритм с целью ускорения процесса получения результата. Проведенные вычислительные эксперименты показывают, что при простейших способах распараллеливания рассмотренных алгоритмов имеем ускорение алгоритма в три раза на современных персональных компьютерах при использовании половины из возможных потоков. Тестирование алгоритма на более мощных вычислителях показало не только отсутствие эффекта от распараллеливания для временных рядов длиной до 100\,000 значений, но и значительное замедление вычислений за счет накладных расходов на организацию параллельных областей в каждой из функций. Таким образом, для реализации алгоритма идентификации параметров одного квазилинейного рекуррентного соотношения нецелесообразно использовать возможности параллельных вычислений.

Дальнейшие исследования возможностей использования параллелизма для алгоритма идентификации коэффициентов модели с помощью обобщенного метода наименьших модулей будут посвящены использованию алгоритма для решения прикладных задач (прогнозирование урожайности поля), где будет присутствовать достаточно большое число коротких временных рядов, и потребуется распределение отдельных подзадач по разным вычислительным процессам.

\vspace{1em}
%{\it Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (государственное задание FENU-2020-0022).}

\insertbiblio{}

%\insertbiblio{MIM-PAV_DB_Eng.bib}{MIM-PAV_DB_Eng.bib}

% Сведения об авторах (Ф.И.О.(полностью), степень, звание, кафедра (отдел), вуз, e-mail)
Мостафа Салахелдин Абделсалам Аботалеб, аспирант, кафедра системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет) (Челябинск, Российская Федерация)

Татьяна Анатольевна Макаровских, д.ф.-м.н., доцент, кафедра системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет) (Челябинск, Российская Федерация)

Анатолий Васильевич Панюков, д.ф.-м.н., профессор, кафедра системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет) (Челябинск, Российская Федерация)

%\newpage

{\phantom{eee} \hrule \vskip 4 pt}
\classify{} % Код MSC не нужен
%\classify{MSC 00000} % Коды MSC см. http://www.ams.org/msc/

\title{ POSSIBILITIES OF PARALLELISM  UNDER IDENTIFYING A QUASI-LINEAR RECURRENT EQUATION %
\footnote{The work was carried out with the support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (state task FENU-2020-0022)}}%
\authorsen{M.S.A.~Abotaleb, T.A.~Makarovskikh, A.V.~Panyukov}

\organizations{ South Ural State University (pr. Lenina 76, Chelyabinsk, 454080 Russia)}

\emails{\emailsinsert}
\redactiondateen{\rdate}

\begin{abstract}%
Time series analysis and forecasting are one of the widely researched areas nowadays. Identification using various statistical methods, neural networks or mathematical models has long been used in various fields of research from industry, to medicine, the social sphere, and the agricultural researches. The article considers a parallel version of the algorithm for identifying the parameters of a quasi-linear recurrent equation for solving the task of regression analysis with interdependent observable variables, based on the generalized least modules method (GLDM). Unlike neural networks, which are widely used nowadays in various forecasting systems, this approach allows us to explicitly obtain qualitative quasi-linear difference equations that adequately describe the considered process. This makes it possible to improve the quality of the studied processes analysis. A significant advantage of the model using the generalized least deviation method, in comparison with numerous neural network approaches, is the possibility of interpreting the coefficients of the model from the point of view of the research task and using the resulting equation as a model of a dynamic process. The conducted computational experiments using time series show that the maximum acceleration of the algorithm occurs when using the number of threads equal to half of the possible threads for a given device.

\keywordsen{Parallelism, quasi-linear recurrent equation, forecasting, simulation, autoregressive model.}
\end{abstract}

\forcitationen{Abotaleb~M.S.A., Makarovskikh~T.A., Panyukov~A.V. Investigation of the possibilities of parallelism for forecasting using a quasi-linear recurrent equation}

\openaccess

%\insertbiblioen{MIM-PAV_DB_Eng.bib}{MIM-PAV_DB_Eng.bib}
\insertbiblioen{}

\end{document}