Форма ключевой функции в задаче о моделировании ветвлений периодических экстремалей с резонансом 1:1:1
Ключевые слова:
гладкий функционал, экстремаль, круговая симметрия, резонанс, моделирование ветвления, метод Ляпунова - Шмидта.Аннотация
В статье изложена допускающая алгоритмизацию методика приближенного вычисления нормализованных ключевых функций в задаче о ветвлении периодических экстремалей гладкого функционала действия вблизи его точки минимума. Периодические экстремали такого функционала служат прототипами периодических колебаний динамических систем, сегнетоэлектрических фаз кристаллов, нелинейных периодических волн и т.д. Изучение бифуркации циклов динамических систем посредством ключевых уравнений и ключевых функций было недавно проведено в работах А.П. Карповой, Н.А. Копытина, Е.В. Деруновой и Ю.И. Сапронова в случаях двойных резонансов $p_1:p_2:p_3$, $p_1<p_2<p_3$. В настоящей статье рассмотрен мало изученный случай $p_1=p_2=p_3 = 1$. Предложенная в статье исследовательская схема опирается на вариационную версию метода Ляпунова - Шмидта, в соответствии с которой численное и качественное описание бифуркаций циклов сводится к анализу ветвления критических точек так называемой ключевой функции. В качестве демонстрационной модели рассмотрен функционал действия, соответстваующий обыкновенному дифференциальному уравнению шестого порядка. Приведены примеры раскладов ветвей критических точек и описан подход к классификации таких раскладов, основанный на разбиении бифурцирующих ветвей на подмножества с одинаковыми индексами Морса и на описании взаимных примыканий бифурцирующих критических точек.Библиографические ссылки
Darinskii B.M., Sapronov Yu. I., Zarev S.L. Bifurcations of Extremals of Fredholm Functionals. Journal of Mathematical Sciences, 2007, vol. 145, issue 6, pp. 5311-5453. DOI: 10.1007/s10958-007-0356-2
Karpova A.P., Kopytin N.A., Sapronov Yu.I. [The Key Equation in Dynamical Systems with 2-tuple Resonances]. Matematicheskie modeli i operatornye uravneniya [Symbolic Model and Operator Equations], 2009, vol. 6, pp. 51-58
Derunova E. V., Sapronov Yu. I. [Three-Mode Extremals' Bifurcations from the Minimum Point of Fredholm Functional in Terms of Circular Symmetric]. Vestnik VGU. Seriya: Fizika. Matematika [Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics], 2014, no. 1, pp. 64-77.
Darinskiy B.M., Kolesnikova I.V., Sapronov Yu.I. Branching phases crystal determines the thermodynamic potential of the sixth order. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii [Control Systems and Information Technology], 2009, no. 1 (35), pp. 72-76.
Zachepa A.V., Sapronov Yu. I. The Bifurcation of Extremals Fredholm Functional from a Degenerate Minimum Point with Feature 3-dimensional Assembly. Sbornik trudov matematicheskogo fakul'teta VGU [Proceedings of the Math. Faculty of VSU], 2005, issue 9, pp. 57-71.
Strygin V.V., Severin G.Yu. Bifurcation of Self-Oscillations of Small Synchronous Two Dynamical Systems with Similar Frequencies. Vestnik VGU. Seriya: Sistemnyy Analiz i Informatsionnye Tekhnologii [Proceedings of Voronezh State University. Series: System Analysis and Information Technologies], 2006. no. 2. pp. 36-45.
Arnold V.I., Varchenko A.N., Husein-Zade S.M. Features Differentiable Maps. Classification of Critical Points Caustics and Wave Fronts. Moskow, 1982.
Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc. Quart. J. Oxford Ser., 1981, vol. 32, no. 125, pp. 119-127. DOI: 10.1093/qmath/32.1.119
Gnezdilov A.V. [Bifurcation of Critical Tori for Functionals with 3-circular Symmetry]. Funktsional'nyy analiz [Function Analysis], 2000, vol. 34, no. 1, pp. 83-86.
Borisovich Yu.G., Bliznaykov N.M., Izrelevich Ya.A., Fomenko T.N. Vvedenie v topologiyu [Introduction to Topology]. Moskow, Nauka, 1995. 416 p.
