Методы типа Адамса для решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений
Ключевые слова:
многошаговые методы, интегро-дифференциальные уравнения, матричные полиномы.Аннотация
В статье рассмотрены линейные интегро-дифференциальные системы уравнений первого порядка с тождественно вырожденной матрицей перед производной. Для данных систем задано начальное условие, которое предполагается согласованным с правой частью. Рассматриваемые в статье постановки задач возникают при математическом моделировании сложных электрических цепей. Используя аппарат матричных полиномов, выделен класс задач, имеющих единственное решение. Обсуждаются трудности численного решения таких задач, в частности неустойчивость многих неявных методов. Для численного решения такого класса задач предложены многошаговые методы, которые основаны на явной квадратурной формуле Адамса для интегрального слагаемого и на экстраполяционных формулах. Сформулированы достаточные условия сходимости таких алгоритмов к точному решению.Приведены результаты численных расчетов, которые хорошо согласуются с теоретическими выкладками.
Библиографические ссылки
Usakov E.I. Staticheskaya ustoychivost' elektricheskikh sistem [Static Stability of Electrical Systems]. Novosibirsk, Nauka, 1988.
Scendy K. Sovremennyye metody analiza elektricheskikh tsepey [Modern Methods of Analysis of Electric Circuits]. Moscow, Energiya, 1971. 360 p.
Bulatov M.V., Chistyakova E.V. On a Family of Singylar Integro-Differential Equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, vol. 51, issue 9, pp. 1558-1566. DOI: 10.1134/S0965542511090065
Budnikova O.S., Bulatov M.V. Numerical Solution of Integral-algebraic Equations for Multistep Methods. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, vol. 52, issue 5, pp. 691-701. DOI: 10.1134/S0965542512050041
Bakhvalov N.S. Chislennye metody [Numeriсal Methods]. Moscow, Nauka, 1975.
Ten Men Yan Priblizhennoye resheniye lineynykh integral'nykh uravneniy Vol'terra I roda [Approximate Solution of Linear Volterra Integral Equations of the First Kind. Candidate's Dissertation in Mathematics and Physics]. Irkutsk, 1985.
Brunner H., van der Houwen P.J. The Numerical Solution of Volterra Equations. Amsterdam: North-Holland, CWI Monographs 3, 1986.
Linz P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations. SIAM, Philadelphia, 1985. DOI: 10.1137/1.9781611970852
Bulatov M.V. Regularization of Singular Systems of Volterra Integral Equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2002, vol. 42, issue 3, pp. 315-320.
Bulatov M.V., Chistyakova E.V. Numerical Solution of Integro-Differential Systems with a Degenerate Matrix Multiplying the Derivative by Multistep Methods. Differential Equations, 2006, vol. 42, issue 9, pp. 1317-1325. DOI: 10.1134/S0012266106090102
Bulatov M.V., Lee M.-G. Applications of Matrix Polynomials to the Analysis of Linear Differential-Algegraic Equations of Higher Order. Differential Equations, 2008, vol. 44, issue 10, pp. 1353-1360. DOI: 10.1134/S0012266108100017
