Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией
Ключевые слова:
система Рэлея, метод Ляпунова - Шмидта, автоколебания, системы реакции-диффузии.Аннотация
Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцхью - Нагумо. Пространственная переменная изменяется в произвольной m-мерной ограниченной области, рассматриваются краевые условия Дирихле или смешанные краевые условия. Найдены критические значения управляющего параметра, отвечающие колебательной и монотонной потере устойчивости нулевого равновесия. Получены явные асимптотические представления пространственно-временных структур, которые образуются вследствие колебательной потери устойчивости нулевого равновесия при различных типах краевых условий. Показано, что происходит мягкая потеря устойчивости. С помощью построения абстрактной схемы и применения метода Ляпунова - Шмидта выведены формулы для общего члена разложения автоколебаний. Установлено, что для всех рассматриваемых краевых условий общий член асимптотики вторичного решения представляет собой нечетный тригонометрический полином по времени. Приведены примеры приложений общей схемы к случаю одной пространственной переменной, когда вторичные решения обладают дополнительными симметриями. Если на концах отрезка заданы краевые условия Дирихле, то в выражение для n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций оператора Лапласа с нечетными индексами не выше n. Если на концах отрезка заданы смешанные краевые условия, то в выражения n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций с индексами не выше (n+1)/2.Библиографические ссылки
Fitzhugh R. Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane. Biophysical Journal, 1961, no. 1, pp. 257-278.
Nagumo J.M., Arimoto S., Yoshizawa S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon. Proceedings of the IRE, 1962, vol. 50, pp. 2061-2070.
Tuwankotta J.M. Studies on Rayleigh Equation. Integral, 2000, vol. 5, no. 1, pp. 1-9.
Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Finite-Dimensional Models of Diffusion Chaos. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2010, vol. 50, no. 5, pp. 816-830. DOI: 10.1134/S0965542510050076
Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B., Slepoykhina E.S. [Splitting Bifurcation of Stochastic Cycles in FitzHugh - Nagumo Model]. Nelineynaya dinamika [Nonlinear Dynamics], 2013, vol. 9, no. 2, pp. 295-307. (in Russian)
Kazarnikov A.V., Revina S.V. [Hopf Bifurcation in Spatially Distributed Rayleigh Equation]. Dep. VINITI, 2013, vol. 83, no. 242-В2013. (in Russian)
Yudovich V.I. Investigation of Auto-Oscillations of a Continuous Medium, Occurring at Loss of Stability of a Stationary Mode. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1972, vol. 36, no. 3, pp. 450-459.
Revina S.V., Yudovich V.I. Initiation of Self-Oscillations at Loss of Stability of Spatially-Periodic, Three-Dimensional Viscous Flows with Respect to Long-Wave Perturbations. Fluid Dynamics, 2001, vol. 36, no. 2, pp. 192-203.
Melekhov A.P., Revina S.V. Onset of Self-Oscillations upon the Loss of Stability of Spatially Periodic Two-Dimensional Viscous Fluid Flows Relative to Long-Wave Perturbations. Fluid Dynamics, 2008, vol. 43, no. 2, pp. 203-216.
Revina S.V. Recurrence Formulas for Long Wavelength Asymptotics in the Problem of Shear Flow Stability. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2013, vol. 53, no. 8, pp. 1207-1220. DOI: 10.1134/S096554251306016X
