Стационарные точки уравнения 'реакция-диффузия'

Андрей Сергеевич Коротких

doi:10.14529/mmp170108

Авторы

Андрей Сергеевич Коротких Воронежский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.14529/mmp170108

Ключевые слова:

уравнение 'реакция-диффузия', гладкий функционал, экстремаль, бифуркация стационарных состояний, моды бифуркации, вариационный метод Ляпунова - Шмидта, траектории спуска в точки минимума.

Аннотация

Рассмотрена бесконечномерная динамическая система, заданная уравнением ' реакция-диффузия' с кубической нелинейностью при краевом условии Неймана и фиксированном значении средней величины. Изложена методика приближенного вычисления бифурцирующих решений при малых и конечных значениях закритического приращения параметра. Предложена также методика 'трассировки' траекторий спуска из произвольного состояния (с произвольной концентрацией) в стабильное состояние (с концентрацией, реализующей минимум функционала энергии). Методика основана на вычислении сужения функционала энергии на линейную оболочку основных собственных функций (мод) оператора Лапласа и приближенном построении трассы спуска в виде последовательности точек, сопровождающих траекторию динамической системы. В случае малого закритического приращения бифуркационного параметра вычислены асимптотические представления бифурцирующих решений. В случае конечного закритического приращения бифуркационного параметра приведены примеры вычисления трассы спуска в точки минимума функционала энергии.

Биография автора

Андрей Сергеевич Коротких, Воронежский государственный университет

аспирант

Библиографические ссылки

Metcalf M. Fortran Optimization. Academic Press, 1985. 264 p. DOI: 10.1002/spe.4380170208

Boukhanovsky А.V., Zhitnikov А.N., Petrosyan S.G., Sloot P. [High-Performance Technologies of Urgent Computing for Flood Hazard Prevention]. Journal of Instrument Engineering, 2011, vol. 54, no. 10, pp. 14-20. (in Russian)

Klevannyy K.A., Smirnova E.V. Using of Modeling System Cardinal for Solving Hydraulic Problems. Vestnik Gosudarstvennogo Universiteta Morskogo i Rechnogo Flota Imeni Admirala S.O. Makarova, 2009, no. 1, pp. 152-161. (in Russian)

Kovalchuk S.V., Ivanov S.V., Kolykhmatov I.I., Boukhanovsky A.V. [Special Characteristics of High Performance Software for Complex Systems Simulations]. Information and Control Systems, 2008, no. 3, pp. 10-18. (in Russian)

Gervich L.R., Kravchenko E.N., Steinberg B.Ya., Yurushkin M.V. Automatic Program Parallelization with Block Data Distribution. Siberian Journal of Numerical Mathematics, 2015, vol. 18, no. 1, pp. 41-53. (in Russian)

GCC Compiler Suite (2016). Available at: http://gcc.gnu.org/

Muchnik S. Advanced Compiler Design and Implementation. San Francisco, Morgan Kaufmann, 1997.

Kowarschik M., Weiss C. An Overview of Cache Optimization Techniques and Cache-Aware Numerical Algorithms. Algorithms for Memory Hierarchies: Advanced Lectures. Berlin, Heidelberg, Springer, 2003, pp. 213-232.

Kasperskiy С. Tekhnika Optimizatsii Programm. Effektivnoe Ispol'zovanie Pamyati [Program Optimization Techniques. Efficient Use of Memory]. St. Peterburg, BHV-Petersburg, 2003.

Gervich L.R., Steinberg B.Ya., Yurushkin M.V. [Exaflop Systems Programming]. Open Systems. DBMS, 2013, vol. 8, pp. 26-29. (in Russian)

Abu-khalil Zh.M., Morylev R.I., Steinberg B.Ya. Parallel Global Alignment Algorithm with the Optimal Use of Memory. Digital Scientific Magazine 'Modern Problems of Science and Education', 2013, no. 1, 6 p. Available at: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=8139

Korzh A.A. NPB UA Benchmark Scaling to Thousands of Blue Gene/P Cores Using PGAS-like OpenMP Extension. Numerical Methods and Programming, 2010, vol. 11, pp. 31-41.

Likhoded N.A. Generalized Tiling. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2011, vol. 55, no. 1, pp. 16-21. (in Russian)

Denning P.J. The Locality Principle. Communications of the Association for Computing Machinery, 2005, vol. 48, no. 7, pp. 19-24. DOI: 10.1145/1070838.1070856

Gustavson F.G., Wyrzykowski R. Cache Blocking for Linear Algebra Algorithms. Parallel Processing and Applied Mathematics 2011, Part I, Lecture Notes in Computer Science, 2012, vol. 7203, pp. 122-132. DOI: 10.1007/978-3-642-31464-3_13

Lam M.S., Rothberg E.E., Wolf M.E. The Cache Performance and Optimizations of Blocked Algorithms. Proceeding ASPLOS IV Proceedings of the Fourth International Conference on Architectural Support for Programming Languages and Operating Systems. Palo Alto, pp. 63-74.

Goto K., van de Geijn R.A. Anatomy of High-Performance Matrix Multiplication. ACM Transaction on Mathematical Software, 2008, vol. 34, no. 3, pp. 1-25. DOI: 10.1145/1356052.1356053

Mycroft A. Programming Language Design and Analysis Motivated by Hardwere Evolution (Invited Presentation). The 14th International Static Analysis Symposium, 2007, vol. 3634, pp. 18-33. Available at: http://www.cl.cam.ac.uk/am21/papers/sas07final.pdf

Galushkin A.I. [The Development Strategy of Modern Supercomputers on the Path to Ekzaflopsnym Computing]. Prilozhenie k zhurnalu 'Informacionnye tehnologii', 2012, no. 2. 32 p. (in Russian)

Arykov S.B., Malyshkin V.E. Asynchronous Parallel Programming System 'Aspect'. Numerical Methods and Programming, 2008, vol. 9, no. 1, pp. 48-52. (in Russian)

Optimizing Parallelizing System (2016). Available at: www.ops.rsu.ru

Ryder B.G. Constructing the Call Graph of a Program. IEEE Transactions on Software Engineering, 1979, vol. SE-5, no. 3, pp. 216-226. DOI: 10.1109/TSE.1979.234183