О современных ортогонализованных алгоритмах оптимальной дискретной фильтрации
DOI:
https://doi.org/10.14529/mmp180401Ключевые слова:
дискретная фильтрация, линейные стохастические системы, фильтр Калмана, матричные ортогональные преобразования, ортогонализованные алгоритмы.Аннотация
В настоящее время вычислительные методы оптимального оценивания стали самостоятельной областью исследования и получили большое развитие. Современные численно эффективные ортогонализованные алгоритмы привлекательны не только своей устойчивостью к ошибкам машинного округления, но и приспособленностью алгоритмов, использующих различные типы матричных ортогональных преобразований, к программной реализации на параллельных или векторных вычислительных системах. Эти свойства позволяют разрабатывать новые эффективные информационные технологии, в частности, при решении задач в режиме реального времени и при обработке больших данных. Статья содержит краткий обзор современных ортогонализованных алгоритмов оптимальной линейной дискретной фильтрации. Рассмотрены четыре класса ортогонализованных алгоритмов: квадратно-корневые ортогонализованные алгоритмы, алгоритмы на основе методов взвешенной ортогонализации, J-ортогонализованные алгоритмы и алгоритмы на базе методов сингулярного разложения. Приведена классификация алгоритмов по типам матричных ортогональных преобразований, на основе которых эти алгоритмы построены. Такая классификация позволяет легче понять метод построения ортогонализованного фильтра и выбрать способ эффективной программной реализации при решении практических задач в классе многомерных дискретных линейных стохастических систем. В работе исследованы вычислительные аспекты ортогонализованных алгоритмов: численная устойчивость к ошибкам машинного округления и способы эффективной программной реализации. Все рассмотренные алгоритмы являются алгебраически эквивалентными стандартной реализации дискретного фильтра Калмана, но существенно превосходят его по своим вычислительным свойствам. Полученные результаты сравнительного исследования позволяют сделать вывод о том, что применение ортогонализованных алгоритмов при решении практических задач помогает получить численно эффективные и надежные решения.Библиографические ссылки
Kalman R.E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Journal of Basic Engineering, 1960, vol. 82, no. 1, pp. 35-45. DOI: 10.1115/1.3662552
Potter J.E., Stern R.G. Statistical Filtering of Space Navigation Measurements. AIAA Guidance, Navigation and Control Conference, Cambridge, 1963, 13 p. DOI: 10.2514/6.1963-333
Rauch H.E., Striebel C.T., Tung F. Maximum Likelihood Estimates of Linear Dynamic Systems. AIAA journal, 1965, vol. 3, no. 8, pp. 1445-1450. DOI: 10.2514/3.3166
Dyer P., McReynolds S. Extension of Square-Root Filtering to Include Process Noise. tJournal of Optimization Theory and Applications, 1969, no. 3, pp. 444-459. DOI: 10.1007/BF00929358
Schmidt S.F. Computational Techniques in Kalman Filtering Theory and Applications of Kalman Filtering. NATO Advisory Group for Aerospace Research and Development, 1970.
Kaminski P.G., Bryson A.E., Schmidt S.F. Discrete Square-Root Filtering: A Survey of Current Techniques. IEEE Transactions on Automatic Control, 1971, vol. 16, no. 6, pp. 727-735. DOI: 10.1109/TAC.1971.1099816
Kaminski P.G. Square Root Filtering and Smoothing for Discrete Processes. Ph.D. Thesis, Stanford University, 1971.
Kailath T. Some New Algorithms for Recursive Estimation in Constant Linear System. IEEE Transactions on Information Theory, 1973, vol. 19, no. 11, pp. 750-760. DOI: 10.1109/TIT.1973.1055104
Morf M., Sidhu G.S., Kailath T. Some New Algorithms for Recursive Estimation in Constant. Linear Discrete-Time Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1974, vol. 19, no. 4, pp. 315-323. DOI: 10.1109/TAC.1974.1100576
Morf M., Kailath T. Square-Root Algorithms for Least-Squares Estimation. IEEE Transactions on Automatic Control, 1975, vol. 20, no. 4, pp. 487-497. DOI: 10.1109/TAC.1975.1100994
Thornton C.L., Bierman G.J. Numerical Comparison of Discrete Kalman Filtering Algorithms: an Orbit Determination Case Study. JPL Technical Memorandum 33-771, 1976, 48 p.
Thornton C.L. Triangular Covariance Factorizations for Kalman Filtering. Ph.D. Thesis, University of California at Los Angeles, 1976.
Bierman G.J. Factorization Methods For Discrete Sequential Estimation. N.Y., Academic Press, 1977.
Fomin V.N. Rekurrentnoe otsenivanie i adaptivnaya fil'tratsiya [Recurrent Estimation and Adaptive Filtering]. Мoscow, Nauka, 1984. (in Russian)
Verhaegen M., Van Dooren P. Numerical Aspects of Different Kalman Filter Implementations. IEEE Transactions on Automatic Control, 1986, vol. 31, no. 10, pp. 907-917. DOI: 10.1109/TAC.1986.1104128
Jover J.M., Kailath T. A Parallel Architecture for Kalman Filter Measurement Update and Parameter Estimation. Automatica, 1986, vol. 22, no. 1, pp. 43-57. DOI: 10.1016/0005-1098(86)90104-4
Ogarkov M.A. Metody statisticheskogo otsenivaniya parametrov sluchajnykh protsessov [Methods of Statistical Estimation of Parameters of Random Processes]. Moscow, Energoatomizdat, 1990. (in Russian)
Wang L., Libert G., Manneback P. Kalman Filter Algorithm Based on Singular Value Decomposition. Proceedings on the IEEE Conference on Decision and Control, 1992, pp. 1224-1229. DOI: 10.1109/CDC.1992.371522
Sayed A.H., Kailath T. Extended Chandrasekhar Recursions. IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, vol. 9, no. 3, pp. 619-622. DOI: 10.1109/9.280773
Park P., Kailath T. New Square-Root Algorithms for Kalman Filtering. IEEE Transactions on Automatic Control, 1995, vol. 40, no. 5, pp. 895-899. DOI: 10.1109/9.384225
Golub G., Van Loan Ch. Matrix Computations. Johns Hopkins University Press, 1996.
Kailath T., Sayed A.H., Hassibi B. Linear Estimation. New Jersey, Prentice Hall, 2000.
Grewal M.S., Andrews A.P. Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB. New Jersey, Prentice Hall, 2001.
Higham N.J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Philadelphia, SIAM, 2002.
Higham N.J. J-Orthogonal Matrices: Properties and Generalization. SIAM Review, 2003, vol. 45, no. 3, pp. 504-519. DOI: 10.1137/S0036144502414930
Zhou B., Han J., Liu G. A UD Factorization-Based Nonlinear Adaptive Set-Membership Filter for Ellipsoidal Estimation. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2008, vol. 18, pp. 1513-1531. DOI: 10.1002/rnc.1289
Daowang F., Teng L., Tao H.Z. Square-Root Second-Order Extended Kalman Filter and Its Application in Target Motion Analysis. Radar, Sonar and Navigation, 2010, vol. 4, no. 3, pp. 329-335. DOI: 10.1049/iet-rsn.2008.0070
Gibbs B.P. Advanced Kalman Filtering. Least-Squares and Modeling: A Practical Handbook. Hoboken, New Jersey, John Wiley and Sons, 2011.
Semushin I.V., Tsyganova Yu.V., Kulikova M.V. et al. Adaptivnye sistemy fil'tracii, upravleniya i obnaruzheniya [Adaptive Systems of Filtering, Control and Detection]. Ulyanovsk, UlGU, 2011. (in Russian)
Semushin I.V. Vychislitel'nye metody algebry i otsenivaniya. Uchebnoe posobie [Computational Methods of Algebra and Estimation]. Ulyanovsk, UlSTU Publishers, 2011. (in Russian)
Semushin I.V., Tsyganova Yu.V., Zakharov K.V. [Robust Filter Algorithms - Survey and New Results for Ship Navigation]. Informatsionnye tekhnologii i vychislitel'nye sistemy, 2013, no. 4, pp. 90-112. (in Russian)
Kulikova M.V., Taylor D.R. Stochastic Volatility Models for Exchange Rates and Their Estimation Using Quasi-Maximum-Likelihood Methods: an Application to the South African Rand. Journal of Applied Statistics, 2013, vol. 40, no. 3, pp. 495-507. DOI: 10.1080/02664763.2012.740791
Kulikova M.V., Tsyganova J.V., Semushin I.V. Adaptive Wave Filtering for Marine Vessels within UD-Based Algorithms. Proceedings of the ECC2016, European Control Conference, Aalborg, 2016, pp. 807-812. DOI: 10.1109/ECC.2016.7810388
Tsyganova Yu.V. [On the UD Filter Implementation Methods]. University Proceedings. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences, 2013, no. 3, pp. 84-104. (in Russian)
Semushin I.V., Tsyganova Yu.V., Tsyganov A.V., Prokhorova E.F. Numerically Efficient UD Filter Based Channel Estimation for OFDM Wireless Communication Technology. Procedia Engineering, 2017, vol. 201, pp. 726-735. DOI: 10.1016/j.proeng.2017.09.597
Kulikova M.V., Tsyganova J.V. Improved Discrete-Time Kalman Filtering within Singular Value Decomposition. IET Control Theory and Applications, 2017, vol. 11, no. 5, pp. 2412-2418. DOI: 10.1049/iet-cta.2016.1282
Tsyganova Yu.V. Orthogonalized Block Methods for Parameter Identification of Discrete Linear Stochastic Systems: D.Sc. Thesis. Ulyanovsk, Ulyanovsk State University at Ulyanovsk, 2017.
Semushin I.V., Tsyganova J.V., Tsyganov A.V. Numerically Efficient LD-computations for the Auxiliary Performance Index Based Control Optimization under Uncertainties. Proceedings of the 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization Yekaterinburg, Russia, October 15-19, 2018, Yekaterinburg, 2018, vol. 51, pp. 568-573.
D'Souza Ch., Zanetti R. Information Formulation of the UDU Kalman Filter. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2018. DOI: 10.1109/TAES.2018.2850379
