Фазовое пространство первой начально-краевой задачи для системы Осколкова высшего порядка
DOI:
https://doi.org/10.14529/mmp180405Ключевые слова:
несжимаемая вязкоупругая жидкость Кельвина - Фойгта, системы Осколкова, уравнения соболевского типа, квазистационарные траектории, фазовое пространство.Аннотация
В последние десятилетия теория уравнений соболевского типа активно изучается в различных аспектах. Применение полугруппового подхода к теории уравнений соболевского типа получило плодотворное развитие в работах научного направления, которое возглавляет Г.А. Свиридюк. Данная работа примыкает к этому научному направлению. В работе исследуется первая начально-краевая задача для системы Осколкова. В нашем случае система моделирует динамику плоскопараллельного течения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта высшего порядка. Эта задача имеет преимущество, так как фазовое пространство для вышеуказанной системы может быть описано полностью при различных значениях параметра, который характеризует упругие свойства жидкости. Изложению этого факта и посвящена данная статья. Исследование проводится в русле теории полулинейных автономных уравнений соболевского типа на основе понятий квазистационарной траектории и относительно спектрально ограниченного оператора.Библиографические ссылки
Oskolkov A.P. Initial-Boundary Value Problems for the Equations of the Motion of the Kelvin-Voight and Oldroyd Fluids. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Trudy Matematicheskogo instituta imeni V.А. Steklova), 1988, no. 179, pp. 126-164. (in Russian)
Sviridyuk G.A. On a Model of the Dynamics of an Incompressible Viscoelastic Fluid. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1994, vol. 38, no. 1, pp. 59-68. (in Russian)
Oskolkov A.P. On a Quasilinear Parabolic System with a Small Parameter Approximating the Navier-Stokes System. Zapiski nauchnykh seminarov POMI, 1980, vol. 96, pp. 233-236. (in Russian)
Sviridyuk G.A. On the Variety of Solutions of a Certain Problem of an Incompressible Viscoelastic Fluid. Differential Equations, 1988, vol. 24, no. 10, pp. 1846-1848.
Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. Phase Spaces of a Class of Operator Equations. Differential Equations, 1990, vol. 26, no. 2, pp. 250-258.
Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. The Cauchy Problem for a Class of Semilinear Equations of Sobolev Type. Siberian Mathematical Journal, 1990, vol. 31, no. 5, pp. 109-119. (in Russian)
Sviridyuk G.A. On the General Theory of Semigroups of Operators. Russian Mathematical Surveys (Uspekhi Matematicheskikh Nauk), 1994, vol. 49, no. 4, pp. 47-74. (in Russian)
Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, VSP, 2003. DOI: 10.1515/9783110915501
Sviridyuk G.A. Quasistationary Trajectories of Semilinear Dynamical Equations of Sobolev Type. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 1993, vol. 57, no. 3, pp. 192-207. (in Russian)
Sviridyuk G.A. Phase Spaces of Semilinear Equations of Sobolev Type with Relatively Strongly Sectorial Operators. Algebra and Analysis, 1994, vol. 6, no. 5, pp. 216-237. (in Russian)
Sviridyuk G.A., Yakupov M.M. The Phase Space of the Initial-Boundary Value Problem for the Oskolkov System. Differential Equations, 1996, vol. 32, no. 11, pp. 1538-1543.
Kondyukov A.O., Sukacheva T.G. Phase Space of the Initial-Boundary Value Problem for the Oskolkov System of Nonzero Order. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, no. 5, pp. 823-829. DOI: 10.7868/S0044466915050130
Leng S. Introduction to Differentiable Manifolds. N.Y., Springer, 2002.
Borisovich Yu.G., Zvyagin V.G., Sapronov Y.I. Nonlinear Fredholm Mappings and Leray-Schauder Theory. Russian Mathematical Surveys, 1977, vol. 32, no. 4, pp. 3-54. (in Russian)
Manakova N.A. Zadachi optimal'nogo upravleniya dlya uravnenij sobolevskogo tipa [Optimal Control Problems for Sobolev Type Equations]. Chelyabinsk, Publishing center of SUSU, 2012. (in Russian)
Sagadeeva M.A. Dihotomii reshenij linejnyh uravnenij sobolevskogo tipa [Dichotomies of Solutions of Linear Sobolev Type Equations]. Chelyabinsk, Publishing center of SUSU, 2012. (in Russian)
Zamyshlyaeva A.A. Linejnye uravneniya sobolevskogo tipa vysshego poryadka [Linear Sobolev Type Equations of Higher Order]. Chelyabinsk, Publishing center of SUSU, 2012. (in Russian)
Zagrebina S.A. Ustojchivye i neustojchivye mnogoobraziya reshenij polulinejnyh uravnenij sobolevskogo tipa [Stable and Unstable Manifolds of Solutions of Semilinear Sobolev Type Equations]. Chelyabinsk, Publishing center of SUSU, 2016. (in Russian)
Zagrebina S.A. A Multipoint Initial-Final Value Problem for a Linear Model of Plane-Parallel Thermal Convection in Viscoelastic Incompressible Fluid. tBulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2014, vol. 7, no. 3, pp. 5-22. (in Russian) DOI: 10.14529/mmp140301
Zamyshlyaeva A.A., Bychkov E.V. The Cauchy Problem for the Sobolev Type Equetion of Higher Order. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2018, vol. 11, no. 1, pp. 5-14. DOI: 10.14529/mmp180101
Keller A.V. On the Computational Efficiency of the Algorithm of the Numerical Solution of Optimal Control Problems for Models of Leontieff Type. Journal of Computational and Engineering Mathematics, 2015, vol. 2, no. 2, pp. 39-59. DOI: 10.14529/jcem150205
Sviridyuk G.A., Manakova N.A. The Barenblatt-Zheltov-Kochina Model with Additive White Noise in Quasi-Sobolev Spaces. Journal of Computational and Engineering Mathematics, 2016, vol. 3, no. 1, pp. 61-67. DOI: 10.14529/jcem160107
