About Nonuniqueness of Solutions of the Showalter- Sidorov Problem for One Mathematical Model of Nerve Impulse Spread in Membrane

N. А. Manakova; O. V. Gavrilova

doi:10.14529/mmp180413

Авторы

N. А. Manakova Южно-Уральский государственный университет
O. V. Gavrilova Южно-Уральский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.14529/mmp180413

Ключевые слова:

уравнения соболевского типа, задача Шоуолтера - Сидорова, система уравнений Фитц Хью - Нагумо, неединственность решений.

Аннотация

Статья посвящена изучению морфологии фазового пространства математической модели распространения нервного импульса в мембране, основанной на вырожденной системе уравнений Фитц Хью - Нагумо, заданной на ограниченной области с гладкой границей. В данной математической модели скорость изменения одной из компонент системы может значительно превосходить другую, что приводит к вырожденной системе уравнений Фитц Хью - Нагумо. Изучаемая модель относится к широкому классу полулинейных моделей соболевского типа. Для исследования вопроса неединственности решений задачи Шоуолтера - Сидорова будет использован метод фазового пространства, который был разработан Г.А. Свиридюком для исследования разрешимости уравнений соболевского типа. Нами будет показано, что фазовое пространство исследуемой модели содержит особенности типа складки Уитни и выявлены условия существования, единственности или множественности решений задачи Шоуолтера - Сидорова в зависимости от параметров системы.

Биографии авторов

N. А. Manakova, Южно-Уральский государственный университет

Доктор физико-математический наук, доцент

O. V. Gavrilova, Южно-Уральский государственный университет

Аспирант

Библиографические ссылки

Fitz Hugh R. Mathematical Models of Threshold Phenomena in the Nerve Membrane. Bulletin of Mathematical Biology, 1955, vol. 17, no. 4, pp. 257-278.

Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon. Proceedings of the IRE, 1962, vol. 50, no. 10, pp. 2061-2070.

Pesin Ya.B., Yurchenko A.A. Some Physical Models Described by the Reaction-Diffusion Equation, and Coupled Map Lattices. Russian Mathematical Surveys, 2004, vol. 59, no. 3, pp. 481-513.

Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. On a Modification of the FitzHugh-Nagumo Neuron Model. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2014, vol. 54, no. 3, pp. 443-461. DOI: 10.1134/S0965542514030063

Manakova N.A., Gavrilova O.V. Optimal Control for a Mathematical Model of Nerve Impulse Spreading. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Compute Software, 2015, vol. 8, no. 4, pp. 120-126. (in Russian) DOI: 10.14529/mmp150411

Gavrilova O.V. Start Control and Final Observation Problem for the Fitz Hugh-Nagumo System for the Dirichlet-Showalter-Sidorov Condition. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics, 2018, vol. 10, no. 3, pp. 12-18. (in Russian) DOI: 10.14529/mmph180302

Bokareva T.A., Sviridyuk G.A. Whitney Folds of the Phase Spaces of Some Semilinear Equations of Sobolev Type. Mathematical Notes, 1994, vol. 55, no. 3-4, pp. 237-242. DOI: 10.1007/BF02110776

Sviridyuk G.A. Phase Portraits of Sobolev-Type Semilinear Equations with a Relatively Strongly Sectorial Operator. St.

Petersburg Mathematical Journal, 1995, vol. 6, no. 5, pp. 1109-1126.

Sviridyuk G.A., Kazak V.O. The Phase Space of a Generalized Model of Oskolkov. Siberian Mathematical Journal, 2003, vol. 44, no. 5, pp. 877-882. DOI: 10.1023/A:1026080506657

Manakova N.A., Sviridyuk G.A. Nonclassical Equations of Mathematical Physics. Phase Space of Semilinear Sobolev Type Equations. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics, 2016, vol. 8, no. 3, pp. 31-51. (in Russian) DOI: 10.14529/mmph160304

Sviridyuk G.A. Quasistationary Trajectories of Semilinear Dynamical Equations of Sobolev Type. Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, 1994, vol. 42, no. 3, pp. 601-614.

Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. The Showalter-Sidorov Problem as a Phenomena of the Sobolev Type Equations. The Bulletin of Irkutsk State University. Series: Mathematics, 2010, vol. 3, no. 1, pp. 104-125. (in Russian)

Sviridyuk G.A., Karamova A.F. On the Phase Space Fold of a Nonclassical Equation. Differential Equations, 2005, vol. 41, no. 10, pp. 1476-1481. DOI: 10.1007/s10625-005-0300-5

Gilmutdinova A.F. On Nonuniqueness of Solutions to the Showalter-Sidorov Problem for the Plotnikov Model. Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2007, no. 9, pp. 85-90. (in Russian)

Gajewski H., Groger K., Zacharias K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen. Berlin, Akademie, 1974. (in German)