On Some Inverse Coefficient Problems with the Pointwise Overdetermination for Mathematical Models of Filtration
DOI:
https://doi.org/10.14529/mmp190107Ключевые слова:
обратная задача, псевдопараболическое уравнение, фильтрация, численное решение.Аннотация
Рассматриваются обратные задачи восстановления коэффициентов линейного псевдопараболического уравнения, возникающие в теории фильтрации. Граничные условия типа Неймана дополняются условиями переопределения, которые есть значения решения в некотором наборе внутренних точек области. Мы приводим теоремы существования и единственности решений в пространствах Соболева. Полученное решение является регулярным, то есть обладает всеми обобщенными производными, входящими в уравнение, принадлежащими некоторому пространству Лебега. Метод доказательства является конструктивным. Задача сводится к нелинейному операторному уравнению с сжимающим оператором, если временной промежуток достаточно мал. Используя метод доказательства, мы строим численный алгоритм определения решения, соответствующий программный комплекс и описываем результаты численных экспериментов в двухмерном случае по пространственным переменным. Определению подлежат само решение уравнения и коэффициент пьезопроводимости трещиноватой среды. Основной метод для численного определения решения - метод конечных элементов, который дополняется разностной схемой для решения соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В конечном счете задача сводится к решению нелинейной алгебраической системы, решение которой находится при помощи итерационной процедуры. Результаты показывают очень хорошую сходимость численного алгоритма.Библиографические ссылки
Barenblatt G.I., Zheltov Iu.P., Kochina I.N. Basic Concepts in the Theory of Seepage of Homogeneous Liquids in Fissured Rocks. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1960, vol. 24, no. 5, pp. 1286–1303. DOI: 10.1016/0021-8928(60)90107-6
B¨ohm M., Showalter R.E. Diffusion in Fissured Media. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1985, vol. 16, no. 3, pp. 500–509. DOI: 10.1137/0516036
Lyubanova A.Sh., Tani A. On Inverse Problems for Pseudoparabolic and Parabolic Equations of Filtration. Inverse Problems in Science and Engineering, 2011, vol. 19, no. 7, pp. 1023–1042. DOI: 10.1080/17415977.2011.569712
Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations. Berlin, N.Y., De Gruyter, 2011. DOI: 10.1515/9783110255294
Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, VSP, 2003. DOI: 10.1515/9783110915501
Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. N.Y., Marcel Dekker, 1999.
Rundell W. Determination of an Unknown Nonhomogeneous Term in a Linear Partial Differential Equation from Overspecified Boundary Data. Journal of Applied Analysis, 1980, vol. 10, no. 3, pp. 231–242. DOI: 10.1080/00036818008839304
Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht, VSP, 1999. DOI: 10.1515/9783110943276
Asanov A., Atamanov E.R. Nonclassical and Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations. Berlin, De Gruyter, 2014.
Favini A., Lorenzi A. Differential Equations. Inverse an Direct Problems. Abingdon, Tylor and Francis Group, 2006. DOI: 10.1201/9781420011135
Mamayusupov M.Sh. The Problem of Determining Coefficients of a Pseudoparabolic Equation. Studies in Integro-Differential Equations, 1983, vol. 16, pp. 290–297.
Lyubanova A.Sh. Identification of a Coefficient in the Leading Term of a Pseudoparabolic Equation of Filtration. Siberian Mathematical Journal, 2013, vol. 54, no. 6, pp. 1046–1058.
DOI: 10.1134/S0037446613060116
Lyubanova A.Sh. The Inverse Problem for the Nonlinear Pseudoparabolic Equation of Filtration Type. Journal of Siberian Federal University. Series: Mathematics and Physics, 2017, vol. 10, no. 1, pp. 4–15.
Pyatkov S.G., Shergin S.N. On Some Mathematical Models of Filtration Theory. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2015, vol. 8, no. 2, pp. 105–116.
Kabanikhin S.I. Inverse and Ill-Posed Problems. Berlin, Boston, De Gruyter, 2012.
Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. Berlin, Boston, De Gruyter, 2007. DOI: 10.1515/9783110205794
Ewing R.E. Numerical Solution of Sobolev Partial Differential Equations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1975, vol. 12, no. 3, pp. 345–363. DOI: 10.1137/0712028
Cuesta C.M., Pop I.S. Numerical Schemes for a Pseudo-Parabolic Burgers Equation, Discontinuous Data and Long-Time Behaviour. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, vol. 224, no. 1, pp. 269–283. DOI: 10.1016/j.cam.2008.05.001
Beshtokov M.Kh. Differential and Difference Boundary Value Problem for Loaded ThirdOrder Pseudo-Parabolic Differential Equations and Difference Methods for Their Numerical
Solution. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2017, vol. 57, no. 12, pp. 1973–1993. DOI: 10.1134/S0965542517120089
Vabishchevich P.N., Grigor’ev A.V. Splitting Schemes for Pseudoparabolic Equations. Differential Equations, 2013, vol. 49, no. 7, pp. 807–814. DOI: 10.1134/S0012266113070033
Guezane-Lakoud A., Belakroum D. Time-Discretization Schema for an Integrodifferential Sobolev Type Equation with Integral Conditions. Applied Mathematics and Computation, 2012, vol. 218, no. 9, pp. 4695–4702. DOI: 10.1016/j.amc.2011.11.077
Luoa Z.D. Teng F. A Reduced-Order Extrapolated Finite Difference Iterative Scheme Based on POD Method for 2D Sobolev Equation. Applied Mathematics and Computation, 2018, vol. 329, pp. 374–383. DOI: 10.1016/j.amc.2018.02.022
Xia H., Luo Z. An Optimized Finite Difference Crank–Nicolson Iterative Scheme for the 2D Sobolev Equation. Advances in Difference Equations, 2017, vol. 196, 12 p. DOI: 10.1186/s13662-017-1253-8.
Keller A.V., Zagrebina S.A. Some Generalizations of the Schowalter–Sidorov Problem for Sobolev-Type Models. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2015, vol. 8, no. 2, pp. 5–23.
Hasan A., Aamo A.M., Foss B. Boundary Control for a Class of Pseudo-Parabolic Differential Equations. Systems and Control Letters, 2013, vol. 62, no. 1, pp. 63–69. DOI: 10.1016/j.sysconle.2012.10.009
Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. North-Holland Mathematical Library. Amsterdam, North-Holland Publishing, 1978.
Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural’tseva N.N. Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type. Providence, American Mathematical Society, 1968. DOI: 10.1090/mmono/023
Amann H. Operator-Valued Fourier Multipliers, Vector-Valued Besov Spaces and Applications. Mathematische Nachrichten, 1997, vol. 186, no. 1, pp. 5–56. DOI: 10.1002/mana.3211860102
