Решение эллиптических уравнений в полигональных областях методом коллокации и наименьших квадратов
DOI:
https://doi.org/10.14529/mmp190312Ключевые слова:
метод коллокации и наименьших квадратов, полигональная многосвязная область, уравнение Пуассона, неоднородное бигармоническое уравнение, напряженно-деформированное состояние.Аннотация
В данной работе рассматривается новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) для численного решения краевых задач для эллиптических уравнений в полигональных областях, в том числе в многосвязных. Возможности этого варианта и численные эксперименты рассмотрены на примерах решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармонического уравнения. В качестве приложения решение неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропной упругой тонкой пластинки полигональной формы, находящейся под действием поперечной нагрузки. Новый вариант метода КНК основан на триангуляции исходной области, чем принципиально отличается от предложенных ранее более сложных вариантов метода КНК решения краевых задач для уравнений с частными производными (УЧП) в нерегулярных областях. Установлено, что приближенные решения рассмотренных задач на последовательности измельчающихся сеток сходятся с повышением порядка и с высокой точностью совпадают с тестовыми решениями.Библиографические ссылки
Guo Chen, Zhilin Li, Ping Lin. A Fast Finite Difference Method for Biharmonic Equations on Irregular Domains and its Application to an Incompressible Stokes Flow. Advances in Computational Mathematics, 2008, vol. 29, no. 2, pp. 113–133. DOI: 10.1007/s10444-007-9043-6
Shapeev V.P., Belyaev V.A. [Solving the Biharmonic Equation with High Order Accuracy in Irregular Domains by the Least Squares Collocation Method]. Numerical Methods and Programming, 2018, vol. 19, no. 4, pp. 340–355. (in Russian)
Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. N.-Y., Toronto, London, McGraw-Hill, 1959.
Shapeev V.P., Belyaev V.A. Solving Boundary Value Problems for Partial Differential Equations in Triangular Domains by the Least Squares Collocation Method. Numerical Methods and Programming, 2018, vol. 19, no. 1, pp. 96–111. (in Russian)
Sorokin, S.B. Preconditioning in the Numerical Solution to a Dirichlet Problem for the Biharmonic Equation. Numerical Analysis and Applications, 2011, vol. 4, no. 2, pp. 167–174. DOI: 10.1134/S1995423911020078
Shapeev V.P., Belyaev V.A. Versions of High Order Accuracy Collocation and Least Residuals Method in the Domain with a Curvilinear Boundary. Computational Technologies, 2016,
vol. 21, no. 5, pp. 95–110. (in Russian)
Belyaev V.A., Shapeev V.P. The Versions of Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Trapezoidal Domains. Computational Technologies, 2017, vol. 22, no. 4, pp. 22–42. (in Russian)
Belyaev V.A., Shapeev V.P. Versions of the Collocation and Least Residuals Method for Solving Problems of Mathematical Physics in the Convex Quadrangular Domains. Modeling and Analysis of Information Systems, 2017, vol. 24, no. 5, pp. 629–648. DOI: 10.18255/1818-1015-2017-5-629-648 (in Russian)
Belyaev V.A., Shapeev V.P. Solving the Dirichlet Problem for the Poisson Equation by the Least Squares Collocation Method with Given Discrete Boundary Domain. Computational Technologies, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 15–30. DOI: 10.25743/ICT.2018.3.15956 (in Russian)
Fedorenko R.P. The Speed of Convergence of One Iterative Process. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1964, vol. 4, no. 3, pp. 227–235. DOI: 10.1016/0041-5553(64)90253-8
Saad, Y. Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Manchester, Manchester University Press, 1991.
Golushko S.K., Idimeshev S.V., Shapeev V.P. Application of Collocations and Least Residuals Method to Problems of the Isotropic Plates Theory. Computational Technologies, 2013,
vol. 18, no. 6, pp. 31–43. (in Russian)
