Об одной задаче управления движущейся тележкой с находящимся на ней упругим стержнем

Аннотация

Рассматривается задача управления процессом продольных колебаний упругого однородного стержня постоянного сечения. Под стержнем понимается тело, длина которого значительно превышает его поперечные размеры. Стержень лежит на движущейся тележке, правый конец которого жестко закреплен, а левый конец свободен. Трение между стержнем и поверхностью тележки в рассматриваемой задаче отсутствует. При движении тележки стержень совершает вынужденные продольные колебания в неинерциальной системе отсчета связанной с тележкой. Управлением является ускорение тележки, величина которого ограничена. Границы ее допустимых значений заданы. Величина совокупности внешних сил, действующих на стержень, точно не известна, а заданы только её границы изменения. Цель процесса управления заключается в том, чтобы в заданный момент времени среднее значение величины растяжения стержня находилось в заданном промежутке. Это среднее значение вычисляется с помощью заданной функции.

Для решения поставленной задачи был применен метод оптимизации гарантированного результата. Был осуществлен переход к новой одномерной переменной, с помощью которой рассматриваемая задача управления продольными колебаниями стержня была сведена к однотипной задаче управления при наличии помехи. Это позволило найти необходимые и достаточные условия, при которых можно осуществить выполнение поставленной цели при любой допустимой совокупности внешних сил, суммарная величина которых удовлетворяет заданным ограничениям. Предложен соответствующий алгоритм построения закона изменения ускорения тележки. Разобран пример, наглядно показывающий, как строится управление тележкой, гарантирующее достижение поставленной цели.