Анализ смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона

Аннотация

Смешанная краевая задача для уравнения Пуассона рассматривается в ограниченной плоской области. Проводится продолжение этой задачи в вариационном виде через границу с условием Дирихле до прямоугольной области. Для решения продолженной задачи формулируется модифицированный метод фиктивных компонент в вариационном виде. Продолженная задача в вариационном виде рассматривается на конечномерном пространстве. Для решения предыдущей задачи формулируется модифицированный метод фиктивных компонент на конечномерном пространстве. Для решения продолженной задачи в матричном виде рассматривается известный метод фиктивных компонент. Показывается, что в методе фиктивных компонент абсолютная ошибка в энергетической норме сходится со скоростью геометрической прогрессии. В качестве обобщения метода фиктивных компонент предлагается новый вариант метода итерационных расширений. Продолженная задача в матричном виде решается методом итерационных расширений. Показывается, что в предложенном варианте метода итерационных расширений относительная ошибка сходится в норме более сильной, чем энергетическая норма задачи со скоростью геометрической прогрессии. Итерационные параметры в указанном методе выбираются с помощью метода минимальных невязок. Указываются условия достаточные для сходимости применяемого итерационного процесса. Выписан алгоритм, реализующий предложенный вариант метода итерационных расширений. В данном алгоритме производится автоматический выбор итерационных параметров и указывается критерий остановки при достижении оценки требуемой точности. Приводится пример применения метода итерационных расширений для решения частной задачи. В расчетах ставится условие достижения оценки относительной ошибки в норме более сильной, чем энергетическая норма задачи. Но приводятся относительные ошибки полученного численного решения примера исходной задачи и другими способами. Например, вычисляется поточено относительная ошибка в узлах сетки. Для достижения относительной ошибки не более нескольких процентов требуются всего несколько итераций. Вычислительные эксперименты подтверждают асимптотическую оптимальность метода, полученную в теории.