О задаче Дирихле для нелокального полигармонического уравнения

Аннотация

Исследуются условия разрешимости одного класса краевых задач для нелокального полигармонического уравнения в единичном шаре с условиями Дирихле на границе, порожденного некоторой ортогональной матрицей. Исследованы существование и единственность решения поставленной задачи Дирихле и построена функция Грина.

Сначала устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения: исследуется обратимость матрицы Вандермонда из корней m-й степени из единицы, затем находятся собственные векторы и собственные числа вспомогательной матрицы, порожденной коэффициентами нелокального оператора задачи и, далее, находится обратная матрица к ней. Для доказательства единственности решения поставленной задачи устанавливается коммутативность граничных операторов и нелокального оператора задачи и показывается, что если решение задачи существует, то это решение – полигармоническая функция. Затем находятся условия единственности решения рассматриваемой задачи. Далее, на основании полученных выше вспомогательных утверждений находятся условия существования решения нелокальной задачи. Решение этой задачи выписывается через решения вспомогательных задач Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре. Наконец, по известной функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре строится функция Грина исходной нелокальной задачи.