Бифуркации полицикла, образованного двумя петлями сепаратрис негрубого седла динамической системы с центральной симметрией

Аннотация

Рассматривается семейство гладких динамических систем, заданных на плоскости и зависящих от двумерного параметра, меняющегося в окрестности нуля. Все системы семейства предполагаются инвариантными при преобразовании симметрии относительно начала координат. При нулевом значении параметра динамическая система имеет простейшее негрубое седло, обе выходящие сепаратрисы которого идут в то же седло, образуя две петли. Полицикл «восьмерка», состоящий из петель, является аттрактором этой системы. Он имеет окрестность U, в граничных точках которой все траектории систем семейства с параметрами, близкими к нулю, входят в U. При условии общего положения описываются бифуркации в окрестности U полицикла при изменении параметра. Значения параметра в малой окрестности нуля, при которых система является негрубой в U, образуют пять гладких кривых, входящих в начало координат, разбивающих эту окрестность на связные компоненты, для значений параметра из которых системы семейства являются грубыми. Для каждой компоненты описан топологический тип соответствующих динамических систем в U. В частности указаны области параметра, при которых система имеет в U единственный аттрактор – узел, два аттрактора – узел и цикл, гомотопный в U полициклу, или два симметричных цикла, гомотопных в U петлям из полицикла, а также три аттрактора – узел и два симметричных цикла.