Волновое уравнение с кубической нелинейностью и возбуждение колебаний в системе «среда–источник»

Аннотация

Получено новое точное решение волнового уравнения с источником, зависящим от искомой функции и времени. Функция источника имеет полиномиальную (третьей степени) нелинейность, а также два дополнительных аддитивных члена, в которые входят вторая и третья степени искомой функции и явная синусная зависимость от времени. Построенные соотношения описывают именно процесс возбуждения колебаний в системе «среда – нелинейный реономный источник» и поэтому не содержат в себе как частный случай решение волнового уравнения с обычной кубической нелинейностью. Физическая интерпретация результатов работы обусловлена свойствами внешнего периодического воздействия на среду. Решение получено на плоскости «искомая функция – время» и дает аналитические выражения частных производных искомой функции по пространственной координате и времени. Это позволяет изучать нестационарные свойства изолиний искомой функции: их скорость и условия, при которых эта скорость является знакопеременной. Важное влияние на поведение изолиний оказывает наклон функции источника в малой окрестности нулевого значения искомой функции. А именно: его знак определяет режим движения (дозвуковой либо сверхзвуковой) изолинии, а его модуль служит масштабом при вычислении безразмерной частоты возбуждающих колебаний. В работе рассмотрены интервалы высоких и низких частот. В каждый момент времени градиентные свойства искомой функции характеризует монотонный профиль, располагающийся в полубесконечной области на плоскости «координата – искомая функция». Указаны условия, при которых происходят периодические по времени кинк-пульсации: в отдельные мгновения исходный монотонный профиль трансформируется в кинк, соответствующий двум состояниям равновесия системы. Изучены нестационарные свойства кривизны монотонных профилей: появление точек перегиба и точек спрямления. Рассмотрены два монотонных профиля: левая и правая ветви, расположенные в полубесконечных областях, соответственно, слева и справа от начала координат. Эти ветви совершают колебательные движения, периодически сближаясь и удаляясь друг от друга. В моменты времени, когда ветви примыкают к началу координат, они образуют неподвижный разрыв, который является слабым или сильным, если наклоны ветвей соответственно разных знаков либо одного знака. Обнаружено, что в ходе такого колебательного процесса в интервале высоких частот возможен трансзвуковой переход: скорость изолинии меняется от дозвукового значения к сверхзвуковому. Построена конфигурация волнового типа: левая и правая ветви, образующие слабый либо сильный разрыв, совершают периодическое по времени движение вдоль оси координат.