Задача Неймана для нелокального бигармонического уравнения

Аннотация

Исследуются условия разрешимости одного класса краевых задач для нелокального бигармонического уравнения в единичном шаре с условиями Неймана на границе. Нелокальность уравнения порождается некоторой ортогональной матрицей. Исследованы существование и единственность решения поставленной задачи Неймана и получено интегральное представление решения через функцию Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре.
Сначала устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения: приводится функция Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре, выписывается представление решения задачи Дирихле через эту функцию Грина, находятся значения интегралов от функций, возмущенных ортогональной матрицей. Затем доказывается теорема о представлении решения вспомогательной задачи Дирихле для нелокального бигармонического уравнения в единичном шаре. Решение этой задачи выписывается с использованием функции Грина задачи Дирихле для обычного бигармонического уравнения. Приводится пример решения простой задачи для нелокального бигармонического уравнения. Далее сформулирована теорема о необходимых и достаточных условиях разрешимости задачи Неймана для нелокального бигармонического уравнения. Доказательство основной теоремы опирается на две леммы, с помощью которых удается преобразовать условия разрешимости задачи Неймана к более простому виду. Решение задачи Неймана представляется через решение вспомогательной задачи Дирихле.