Алгоритмы вычисления собственных значений дискретных полуограниченных операторов, заданных на квантовых графах

Аннотация

Спектральные задачи для дифференциальных операторов, заданных на квантовых графах, представляют большой научный интерес. Это связано с необходимостью решения таких задач в квантовой механике, моделировании компьютерных сетей, обработке изображений, алгоритмах ранжирования, моделировании электрических, механических, акустических процессов, в сетях разнообразной природы, конструировании наносистем с заданными свойствами и других областях науки и техники. На сегодня разработана теоретическая часть решения прямых и обратных спектральных задач на квантовых графах. Но вычислительные алгоритмы, построенные на этих методах, вычислительно малоэффективны. Мы не встречали опубликованных работ, в которых были бы рассмотрены примеры численного решения спектральных задач на конечных связанных графах с большим количеством вершин и ребер. Поэтому разработка новых вычислительно эффективных алгоритмов численного решения спектральных задач, заданных на конечных связанных графах, является актуальной.
Разработана методика нахождения собственных значений краевых задач, заданных на конечных связанных графах, с необходимым количеством вершин и ребер. Для использования этой методики надо знать собственные значения и вектор собственных функций соответствующих невозмущенных вектор-операторов, которые, как правило, самосопряженные. Находить их вручную, в случае большого количества у графа вершин и ребер, достаточно сложно. Это привело к необходимости написать пакет программ в математической среде MAPLE, позволяющий в символьном режиме находить трансцендентные уравнения для вычисления собственных значений и нахождения собственных функций не возмущенных краевых задач. Приведены примеры вычисления собственных значений для квантового графа, моделирующего молекулу ароматического соединения антрацена.