О бифуркациях некоторых сепаратрисных контуров кусочно-гладкой динамической системы с симметрией

Аннотация

На плоскости с декартовыми координатами (х,у) рассматривается однопараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей, инвариантных при отражении от оси х. Через начало координат О проходит линия переключения, трансверсально оси х. Пусть при нулевом значении параметра векторное поле семейства в левой полуокрестности линии переключения совпадает с гладким векторным полем, имеющим точку О грубым устойчивым узлом, а в ее правой полуокрестности совпадает с гладким векторным полем без особых точек. Пусть также это поле имеет на оси х грубое седло S, для которого открытая дуга оси х между точками О и S является входящей сепаратрисой седла, а две симметричные выходящие сепаратрисы седла не содержат особых точек и идут в точку О. В работе показано, что если при положительных значениях параметра в левой полуокрестности линии переключения нет особой точки, то из каждого из двух симметричных контуров, образованных сепаратрисами, рождается устойчивая, периодическая траектория. При дополнительных условиях рождающаяся периодическая траектория является единственной и гиперболической.