Асимптотически оптимальное решение модельной задачи для эк­ра­ни­ро­ван­но­го уравнения Пуассона

Аннотация

Экранированное уравнение рассматривается на прямоугольной области со смешанными краевыми условиями. При численном решении этой задачи предлагается использовать итерационную факторизацию после фиктивного продолжения дискретной задачи аппроксимирующей решаемую задачу. В итоге решение основывается на решении систем линейных алгебраических уравнений с матрицами треугольного вида, в которых ненулевых элементов не боле трех в каждой строке. При достаточно малой погрешности аппроксимации рассматриваемой задачи требуемая относительная погрешность предлагаемого итерационного процесса достигается за количество итераций, независящее от параметров дискретизации. Итерационный процесс оказывается методом, дающим оптимальную асимптотику по количеству операций в арифметических действиях. Разработанный итерационный процесс основывается на характерных особенностях указанной модельной задачи. Эта задача может быть получена в методах фиктивных компонент, пространств, когда решают краевые задачи для эллиптических уравнений в областях сложной формы. Приводится алгоритм реализации итерационного метода с выбором итерационных параметров в автоматическом режиме, с применением метода минимальных невязок, поправок. Это дает критерий для остановки итерационного процесса при получении указанной предварительно относительной погрешности. Приведен простейший тестовый пример для вычислительных экспериментов, подтверждающих асимптотическую оптимальность для итерационного метода в количестве вычислительных затрат. Реализация метода существенно основывается на использовании комплексного анализа.