Условия разрешимости задачи Неймана N2 для полигармонического уравнения в шаре

Аннотация

Рассмотрен класс задач типа Неймана, зависящий от натурального параметра k, для полигармонического уравнения в единичном шаре. Задачи этого класса обобщают как известную задачу Дирихле, так и задачу Неймана. В ряде работ для класса таких задач было найдено множество необходимых условий разрешимости этой задачи и было выдвинуто предположение, что наиболее полный вариант найденных необходимых условий является также и набором достаточных условий разрешимости задачи. Для задачи N₁этот факт был известен. В настоящей работе для задачи N₂, для однородного m-гармонического уравнения в единичном шаре, доказывается предположение о совпадении найденного ранее множества необходимых условий с достаточными условиями разрешимости этой задачи. Сначала с помощью замены переменных задача N₂сводится к более простой задаче Дирихле N₀, решение которой считается известным. Затем находятся условия, при которых сделанная замена переменных обратима. Найденные здесь условия связаны с наличием у решения задачи Дирихле членов первого порядка малости в ее разложении в окрестности нуля. Затем используются ранее полученные результаты о связи значения m-гармонической в единичном шаре функции в центре шара со значениями нормальных производных этой функции на границе шара. Полученные условия разрешимости преобразуются к условиям, связанным со значениями интегралов по сфере от полиномов от нормальных производных искомого решения на единичной сфере, коэффициенты которых являются элементами арифметического треугольника Неймана. Найденные условия совпадают с полученными ранее необходимыми условиями разрешимости задачи N₂.