Asymptotic Solution of the Perturbed First Boundary Value Problem with a Non-Smooth Coefficient

Аннотация

Рассматривается неоднородная первая краевая задача, т. е. задача Дирихле в кольце для линейного неоднородного эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными, содержащего малый параметр перед лапласианом. Потенциал уравнения не является гладкой функцией в исследуемой области. Решение исследуемой первой краевой задачи существует и единственно. Явное решение первой краевой задачи построить невозможно. Нас интересует влияние малого параметра на решение задачи Дирихле в рассматриваемой области, когда малый параметр стремится к нулю. Поэтому требуется построить асимптотическое решение первой краевой задачи в кольце. Исследуемая задача имеет две сингулярности (бисингулярная задача): присутствие малого параметра перед лапласианом и решение соответствующего невозмущенного уравнения не является гладкой функцией в рассматриваемой области. Для построения асимптотического решения применяем модифицированный метод пограничных функций, так как классический метод пограничных функций применить невозможно. Для начала строим формальное асимптотическое решение по малому параметру, а потом оцениваем остаточный член асимптотического разложения. В результате нами построено полное равномерное асимптотическое разложение решения первой краевой задачи в кольце по малому параметру. Построенный ряд решения первой краевой задачи является асимптотическим в смысле Эрдей.