GEOMETRIC MODEL OF A PHYSICAL SPLINE
Keywords:
affine compression, cubic curve, Ferguson curve, polynomial model, parametric model, vector derivative, graphic differentiationAbstract
A physical spline is an elastic bar, the cross-sectional dimensions of which are extremely small compared to the length and radius of curvature of its axis. An example of a physical spline is a thin metal ruler. Such a ruler, when going through given points, immediately acquires a “nature-like” shape, characterized by a minimum energy of internal stresses and a minimum average curvature. Finding the equation of an elastic line is a complex mathematical problem that does not have an elementary solution. The article considers polynomial and parametric methods for geometric modeling of a physical spline going through predetermined points. The elastic line of the physical spline is obtained expe-rimentally. It is shown that the polynomial model significantly differs from the experimentally ob-tained physical spline, which makes it difficult to use cubic polynomials for modeling an elastic line with big deflections. A parameterized model based on Ferguson curves gives high accuracy of ap-proximation if tangents to the elastic line of the physical spline are specified at the base points. The examples of the physical spline modeling with free and restrained ends are considered. In the case of a free spline, the error of the parametric model was 0.4 %, and in the case of a spline with pinched ends, the error was less than 1.5 %. Calculations were performed using the SMath Stu-dio software tool.References
Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. – М.: Изд-во физико-
математической литературы, 2012. – 472 с.
Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г.С. Иванов. – М.: Машинострое-
ние, 1998. – 157 с.
Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik / G. Glaeser. – Springer Spektrum,
– 508 pp. DOI 10.1007/978-3-642-41852-5
Завьялов, Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. –
М.: Машиностроение, 1985. – 224 с.
Попов, Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е.П. Попов. – М.: ГИТТЛ, 1948. – 172 с.
Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс,
М. Пратт. – М.: Мир, 1982. – 304 с.
Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед
заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6,
№ 3. – С. 20–32. DOI: 10.12737/article_5bc457ece18491.728077358. Любчинов, Е.В. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог / Е.В. Любчинов, К.Л. Панчук // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». – 2020. – Т. 20, № 1. – С. 52–62. DOI: 10.14529/build200106 9. Понтрягин, Л.С. Кубическая парабола / Л.С. Понтрягин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». – 1984. – № 3. – С. 10–14, 32. 10. Уокер, Р. Алгебраические кривые / Р. Уокер. – М.: Книжный дом «Либроком», 2009. – 240 с. 11. Шикин, Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера / Е.В. Шикин, Л.И. Плисс. – Диалог-МИФИ, 1996. – 240 с. 12. Курс начертательной геометрии (с учетом принципов программированного обучения) / под ред. Н.Ф. Четверухина. – М.: Высшая школа, 1968. – 266 с. 13. Прасолов, В.В. Геометрия / В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров. – М.: Изд-во МЦНМО, 2013. – 336 с. 14. Савелов, А.А. Плоские кривые / А.А. Савелов. – М.: Книжный дом «Либроком», 2009. – 296 с.
Короткий, В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии / В.А. Короткий // Геометрия и гра-фика. – 2020. Т. 8, № 3. – С. 3–24. DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-24
