A Shock Capturing Method
Keywords:
shock wave, differential method, distraction, energy dissipation, conservation laws.Abstract
Strong discontinuities, or shocks in continua are a result of external dynamic loads. On the shock surface the conservation laws take the form of nonlinear algebraic equations for jumps across the shock. Entropy jumps across a strong discontinuity, and just this jump differs shocks from waves where the quantities vary continuously. In the heterogeneous difference schemes, the shock is treated as a layer of a finite thickness comparable with the cell size. This property of finite-difference schemes was called distraction. Since the state behind a shock is related to the state before it by the Hugoniot, in the distraction region there must act a mechanism that increases entropy. The physical viscosity and heat conductivity in continuum mechanics equations do not make it unnecessary to introduce a shock surface and hence cannot make the distraction length comparable with a few cells of the difference mesh. The paper considers a number of finite difference schemes where energy dissipation in the distraction region is defined by equations which are valid on the shock surface.
References
Куропатенко, В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики / В.Ф. Куропатенко // Труды матем. инст. им. В.А.Стеклова. - 1966. - Т. 74, вып. 1. - С. 107-137.
Neumann, J. A Method for the Numerical Calculation of Hydrodynamical Shocks / J. Neumann, R. Richtmayer // J. Appl. Phys. - 1950. - V. 21, № 3. - P. 232-237.
Lax, P.D. Weak Solution of Nonlinear Hyperbolic Equations and Their Numerical Computations / P.D. Lax // Comn. Pure and Appl. Math. - 1954. - V. 7. - P. 159-193.
Годунов, С.К. Разностный метод расчета ударных волн / С.К. Годунов // Успехи математических наук. - 1957. - № 12, вып. 1. - С. 176-177.
Куропатенко, В.Ф. Метод расчета ударных волн / В.Ф. Куропатенко // ДАН СССР. - 1960. - Т. 3, № 4. - С. 771-772.
Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. - М.: Наука, 1968.
Куропатенко, В.Ф. Исследование дистракции разрывов в методах расчета ударных волн / В.Ф. Куропатенко, И.Р. Макеева // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18, № 3. - С. 120-128.
Ступоченко, Е.В. Релаксационные процессы в ударных волнах / Е.В. Ступоченко, С.А. Лосев, А.И. Осипов. - М.: Наука, 1965.
Куропатенко, В.Ф. Разностный метод расчета ударных волн с повышенными свойствами монотонности / В.Ф. Куропатенко, И.Р. Макеева // Препринт ВНИИТФ. - 1997. - № 120.
Куропатенко, В.Ф. Локальная консервативность разностных схем для уравнений газовой динамики / В.Ф. Куропатенко // Журнал выч. матем. и матем. физики. - 1985. - Т. 25, № 8. - С. 1176-1188.
Куропатенко, В.Ф. О полной консервативности разностных законов сохранения / В.Ф. Куропатенко // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Численные методы решения задач математической физики. - 1982. - Вып. 3(11). - С. 3-5.
Куропатенко, В.Ф. О точности вычисления энтропии в разностных схемах для уравнений газовой динамики / В.Ф. Куропатенко // Численные методы механики сплошной среды: сб. - 1978. - Т. 9, № 7. - С. 49-59.
Куропатенко, В.Ф. Связь дивергентности с консервативностью разностных схем для уравнений газовой динамики / В.Ф. Куропатенко // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физ. процессов. - 1990. - Вып. 2. - С. 63-69.
Куропатенко, В.Ф. Методы расчета ударных волн / В.Ф. Куропатенко // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Серия Б. Математическое моделирование в низкотемпературной плазме. Часть 2. - 2008. - Т. VII-I. - С. 496-506.
Куропатенко, В.Ф. Модели механики сплошной среды / В.Ф. Куропатенко. - Челябинск: ЧелГУ, 2007.
Куропатенко, В.Ф. О влиянии свойств разностных схем на математическое моделирование динамических процессов / В.Ф. Куропатенко, И.А. Доровских, И.Р. Макеева // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. 11, часть 2. - С. 9-11.
Комплекс программ ВОЛНА и неоднородный разностный метод для расчета неустановившихся движений сжимаемых сплошных сред / В.Ф. Куропатенко, Г.В. Коваленко, В.И. Кузнецова, Г.И. Михайлова // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физ. процессов. - 1989. - Вып. 2. - С. 9-25.
