Static and Dynamics of a Rod at the Longitudinal Loading
Keywords:
stability of rod, parametric resonance, beatings, Eulerian elastics.Abstract
A short review of works about static and dynamical stability of a thin rod under axial
compression is given. By using linear static approach a critical compression has been found by L. Euler. In the paper of M.A. Lavrentiev and A.Y. Ishlinsky it has been established that at intensive loading which essentially exceeds the Eulerian one, the maximum growth of the lateral deflection corresponds to the mode with a large number of waves in the longitudinal direction. The following researches are connected with the longitudinal waves influence.
The conditions of parametric resonances appearing and also the cases of stability loss under load less than the Eulerian one are found. Under quasi-linear approach the beating effect with energy transition from longitudinal vibrations into transversal ones and vice versa is established. At a long-time action of the load exceeding the Eulerian one both linear and quasi-linear approaches do not lead to finite values of transversal amplitude. That is why the non-linear approach is used and the growth of the post-critical deformations of the rod is studied. The connection of the deformation picture with the effect discovered by M.A. Lavrentiev and A.Y. Ishlinsky with the Eulerian elastics is marked.
References
Эйлер, Л. Метод нахождения кривых, обладающих свойством максимума либо минимума / Л Эйлер. - М.-Л.: ГТТИ, 1934.
Hutchinson, W.J. Dynamic Buckling Estimates / W.J. Hutchinson, B. Budiansky // AIAA J. - 1966. - V. 4, № 3. - P. 527-530.
Knauss, W.G. Some Basic Problems in Stress Wave Dominated Fracture / W.G. Knauss, K. Ravi-Chandar // Intern. J. Fracture. - 1985. - V. 27, issue 3-4. - P. 127-143.
Морозов, Н.Ф. Проблемы динамики разрушения / Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.
Bratov, V.A. Dynamic Strength of Continuum / V.A. Bratov, N.F. Morozov, Yu.V Petrov. - SPb: St. Petersburg Univ. Press. 2009.
Болотин, В.В. Динамическая устойчивость упругих систем / В.В. Болотин. - М.: Наука, 1956.
Вольмир, А.С. Устойчивость сжатых стержней при динамическом нагружении / А.С. Вольмир // Строит. мех. и расчет сооружений. - 1960. - № 1. - С. 6-9.
Лаврентьев, M.A. Динамические формы потери устойчивости упругих систем / M.A. Лаврентьев, А.Ю. Ишлинский // Докл. АН СССР. - 1949. - Т. 64, № 6. - С. 776-782.
Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова - М.: Наука, 1987.
Вольмир, А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир - М.: ГИТТЛ, 1962.
Болотин, В.В. Поперечные колебания и критические скорости / В.В. Болотин. - М.: Изд-во АН СССР, 1951. - Вып. 1; 1953. - Вып. 2.
Морозов, Н.Ф. Динамика стержня при продольном ударе / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - 2009. - № 2. - С. 105-111.
Беляев, А.К. Динамический подход к задаче Ишлинского-Лаврентьева / А.К. Беляев, Д.Н. Ильин, Н.Ф. Морозов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2013. - № 5. - С. 28-33.
Морозов, Н.Ф. Динамика стержня при кратковременном продольном ударе. / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. - 2013. - Вып. 3. - С. 131-141.
Морозов, Н.Ф. Поперечные колебания стержня, вызванные продольным ударом / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Доклады Российской академии наук. - 2013. - Т. 452, № 1. - С. 37-41.
Пальмов, В.А. Колебания упругопластических тел / В.А. Пальмов - М.: Наука, 1976.
Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов - М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
Якубович, В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский - М.: Наука, 1972.
Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А.А. Илюхин. - Киев: Наукова думка, 1979.
