Using Partial Differential Algebraic Equations in Modelling
Abstract
We consider evolutionary systems of partial differential equations depending on a single space variable. It is assumed that the matrices multiplying the derivatives of the desired vector-function are singular in the domain. Such systems are commonly called partial differential algebraic equations (PDAEs). Properties of PDEAs are essentially different to the properties of non-singular systems. In particular, it is impossible to define a type of a system judging by roots of characteristic polynomials. In this paper, we introduce a notion of splittable systems by which we mean systems allowing existence of non-singular transformations that lead to splitting of the original system to the subsystem with a unique solution and the non-singular subsystem of partial differential equations. Such an approach makes it possible to investigate the structure of general solutions to differential algebraic equations and, in some cases, to establish solvability of initial-boundary value problems.
References
Wade, S.M. A differentiation index for partial differential-algebraic equations / S.M. Wade, I.B. Paul // SIAM J. Sci. Comp. - 2000. - V. 21, № 6. - P. 2295-2316.
Соболев, C.Л. Об одной новой задаче математической физики / C.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.
Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; K"oln: VSP, 2003.
Демиденко, Г.В. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. - Новосибирск: Науч. кн., 1998.
Таиров, Э.А. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений / Э.А. Таиров, В.В. Запов // ВАНТ. Сер. Физика ядерных реакторов. - 1991. - Вып. 3. - С. 14-20.
Gunther, M. PDAE-Netzwerkmodelle in der elektrischen schaltungssimulation / M. Gunther, P. Rentrop. - Preprint 99/3. - Karlsruhe: IWRMMM, 1999.
Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - C.47-74.
Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров , М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - C. 726-728.
Паламодов, В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами / В.П. Паламодов. - М.: Наука, 1967.
Campbell, S.L. The Index of Infinite Dimensional Implicit System / S.L. Campbell , W. Marzalek // Mathematical and Computer Modelling of System. - 1999. - V. 5, № 1. - P. 18-42.
Бояринцев, Ю.Е. Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка / Ю.Е. Бояринцев // Методы оптимизации и исследование операций. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 123-141.
Бормотова, О.В. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / О.В. Бормотова, В.Ф. Чистяков // Журн. вычислит. математики и мат. физики. - 2004. - Т. 44, № 8. - С. 1380-1387.
Гайдомак, С.В. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,k) / С.В. Гайдомак, В.Ф. Чистяков // Вычисл. технологии. - 2005. - Т. 10, № 2. - С. 45-59.
Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. - Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998.
Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. - М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1950.
Чистяков, В.Ф. О непрерывной зависимости решений линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений от параметра / В.Ф. Чистяков, М. Пешич // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 3. - С. 363-372.
Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1971.
Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М.: Наука, 1964.
Логинов, А.А. Алгебро-дифференциальная система математической модели энергоблока ТЭС / А.А. Логинов, Э.А. Таиров, В.Ф.Чистяков // Труды XI междунар. Байкал. шк.-семинара "Методы оптимизации и их приложения", (Иркутск, Байкал, 5-12 июля 1998 г.). T. 4. Численный анализ, обратные и некорректные задачи. - Иркутск, 1998. - C. 119-122.
