The Initial-Finite Problems for Nonclassical Models of Mathematical Physics
Abstract
The models of Mathematical Physics, whose representation in the form of equations or systems of partial differential equations do not fit one of the classical types such as elliptic, parabolic or hyperbolic, are called nonclassical. The article provides an overview of the author's results in the field of nonclassical models of Mathematical Physics for which the initial-finite problems, generalizing the Cauchy and Showalter, Sidorov conditions, are considered. Basic method for the research is the Sviridyuk relative spectrum theory. Abstract results are illustrated by the specific initial-finite problems for the equations and systems of equations in partial derivatives occurring in applications, namely, the theory of filtration, fluid dynamics and mesoscopic theory, considered on the sets of different geometrical structure.
References
Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения. - 1993. - Т. 29, № 3. - С. 395-405.
Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.
Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Физматгиз, 1961.
Темам, Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. - М.: Мир, 1981.
Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 58-73.
Руткас, А.Г. Задача Коши для уравнения $A(x)+Bx(t)=f(t)$ / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения. - 1975. - Т. 11, № 11. - С. 1996-2010.
Ting, T.W. Certain Non-Steady Flows of Second-Order Fluids / T.W. Ting // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1963. - V. 14, № 1. - P. 28-57.
Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
Hallaire, M. On a Theory of Moisture-Transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. - 1964. - No. 3. - P. 60-72.
Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / Осколков А.П. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 198. - С. 31-48.
Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 11. - С. 1556-1561.
Poincar$acute{e}$, H. Sur l'equilibre d'une mass fluide anim$acute{e}$e d'un mouvement de rotation / H. Poincar$acute{e}$ // Acta Math. - 1885. - V. 7. - P. 259-380.
Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, серия "Математика". - 1954. - Т. 18, вып. 1. - С. 3-50.
Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest - Order Deriative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.-Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
Панков, А.А. Нелинейные эволюционные уравнения с необратимым операторным коэффициентом при производной / А.А. Панков, Т.Е. Панкова // Докл. Акад. наук Украины. - 1993. - № 9. - С. 18-20.
Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2002.
Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка: моногр. / А.А. Замышляева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа: моногр. / Н.А. Манакова. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа: моногр. / М.А. Сагадеева. - Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.
Келлер, А.В. Алгоритм решения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей леонтьевского типа / А.В. Келлер // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (241), вып. 7. - С. 40-46.
Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 8. - С. 46-52.
Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г.А. Свиридюк, И.В. Бурлачко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 2003. - Т. 43, № 11. - С. 1677-1683.
Shestakov, A.L. Optimal Measurement of Dynamically Distorted Signals / A.L. Shestakov, G.A. Sviridyuk // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2011. - No. 17 (234), issue. 8. - P. 70-75.
Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. - 2012. - № 1. - C. 107-115.
Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно $p$-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 12. - С. 1646-1652.
Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера - Сидорова / С.А. Загребина // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 3. - С. 22-28.
Загребина, С.А. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 23-26.
Манакова, Н.А. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - Самара, 2011. - № 4 (25). - С. 18-24.
Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 22-29.
Сидоров, Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н.А. Сидоров // Мат. заметки. - 1984. - Т. 35, № 4. - C. 569-578.
Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Серия "Математика". - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.
Загребина, С.А. Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно $(L,p)$-радиальным оператором / С.А. Загребина // Мат. заметки ЯГУ. - Якутск, 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 39-48.
Загребина, С.А. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа с сильно $(L,p)$-радиальным оператором / С.А. Загребина, М.А. Сагадеева // Вестн. МаГУ. Серия "Математика". - Магнитогорск, 2006. - Вып. 9. - С. 17-27.
Загребина, С.А. Задача Шоуолтера - Сидорова - Веригина для линейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина // Неклассические уравнения математической физики: тр. междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа / отв. ред. А. И. Кожанов; Рос. Акад. наук, Сиб. отд., ин-т математики им. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 2007. - С. 150-157.
Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. - № 4 (221), вып. 7. - С. 35-39.
Загребина, С.А. Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Хоффа / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - № 5 (264), вып. 11. - С. 4-12.
Загребина, С.А. Об одной новой задаче для уравнений Баренблатта - Желтова - Кочиной / С.А. Загребина, А.C. Конкина // Вестн. МаГУ. Серия "Математика". - Магнитогорск, 2012. - Вып. 14. - С. 67-77.
Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12, вып. 3. - С. 173-200.
Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В.Е. Федоров // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - Челябинск, 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 89-99.
Загребина, С.А. О существовании и устойчивости решений уравнений Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестн. МаГУ. Серия "Математика". - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 74-86.
Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1994. - № 1. - C. 62-70.
Свиридюк, Г.А. Об относительно сильной $p$-секториальности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Докл. Акад. наук. - 1999. - Т. 365, № 6. - С. 736-738.
Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Серия "Математика". - Магнитогорск, 2003. - Вып. 4. - С. 129-139.
