Nonclassical Mathematical Physics Models
Abstract
Nonclassical called the models of mathematical physics, whose representation in the form of equations or systems of partial differential equations do not fit into one of the classical types - elliptic, parabolic or hyperbolic. In particular, the non-classical model are described by the equations of mixed type (eg, Tricomi equation), the degenerate equation (for example, the Keldysh equation) or the equations of Sobolev type (eg, Barenblatt - Zheltov - Kochina equation). The article provides an overview of some, in our opinion - the main A.I. Kozhanov achievements in the field of non-classical models of mathematical physics. His major achievements in the field of non-classical linear models belong to the theory of composite type equations, where he developed almost to perfection the method of a priori estimates and did the maximum possible generalization. Furthermore, the method of a priori estimates, along with the principle of comparing A.I. Kozhanov very effectively applied to the study of non-linear non-classical models such as the generalized Boussinesq filtration equation and classical nonlinear models, including models of the Josephson junction. Special place in activity of A.I. Kozhanov take the inverse problem, which, along with the decision and want to find another unknown factor. Here he received outstanding results in both linear and nonlinear cases.
References
Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. - Новосибирск: НГУ, 1983.
Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. - Utrecht; Boston; K$ddot{o}$ln; Tokyo: VSP, 2002.
Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007.
Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; K$ddot{o}$ln; Tokyo: VSP, 2003.
Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2010. - Т.3, № 1. - С.51-72.
Кожанов, А.И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1996. - Т. 37, № 6. - C. 1335-1346.
Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях / А.И. Кожанов, Н.А. Ларькин // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 6. - C. 1278-1299.
Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных ультрапараболических уравнений некоторых математических моделей динамики биологических систем / А.И. Кожанов // Сиб. журн. индустр. математики. - 2009. - Т. 12, № 4. - C. 64-78.
Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. - Новосибирск: НГУ, 1990.
Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С.58-73.
Hallaire, M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. - 1964. - № 3. - P. 60-72.
Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. - 1968. - V. 19. - P. 614-627.
Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, неразрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1994. - Т. 35, № 2. - C. 359-376.
Загребина, С.А. Начально-конечная задача для линейной системы Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: "Мат. моделирование и программирование". - Челябинск, 2010. - № 4 (221), вып. 7. - С. 35-39.
Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 2. - С. 252-260.
Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява / А.А. Замышляева // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: "Мат. моделирование и программирование". - Челябинск, 2011. - № 37 (254), вып. 10. - С. 22-29.
Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Наука, 1977.
Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С.Дзекцер // Докл. Акад. наук СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.
Фураев, В.З. Вывод уравнения для свободной поверхности фильтрующейся жидкости в слое конечной глубины / В.З. Фураев, Г.А. Шадрин // Вычислит. математика и мат. физика. - М., 1982. - Т. 10. - C. 66-71.
Свиридюк, Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1989. - № 2. - С. 55-61.
Манакова, Н.А. Задача оптимального управления для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Вестн. Магнитогор. гос. ун-та. Сер. Математика. - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 113-122.
Кожанов, А.И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником / А.И. Кожанов // Мат. заметки. - 1999. - Т. 65, № 1. C. 70-75.
Кожанов, А.И. Некоторые классы нестационарных уравнений с растущими младшими членами / А.И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 1998. - Т. 39, № 4. - C. 875-885.
Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А. И. Кожанов // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 1053-1071.
Kozhanov, A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. - Utrecht; Boston; K$ddot{o}$ln; Tokyo: VSP, 1999.
