Asymptotic Stability of Solutions to One Class of Nonlinear Second-Order Differential Equations with Parameters
Abstract
We consider a class of nonlinear second-order ordinary differential equations with parameters. Differential equations of such type arise when studying oscillations of an "inversed pendulum" in which the pivot point vibrates periodically. We establish conditions under which the zero solution is asymptotically stable. We obtain estimates for the attraction domain of the zero solution and establish estimates for the decay rate of solutions at infinity. Obtaining the results, we use a criterion for asymptotic stability of the zero solution to systems of linear ordinary differential equations with periodic coefficients. The criterion is formulated in terms of solvability of a special boundary value problem for the Lyapunov differential equation on the interval. The estimates of the attraction domain of the zero solution and estimates for the decay rate of the solutions at infinity are established by the use of the norm of the solution to the boundary value problem.
References
Демиденко, Г.В. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 2. - С. 332-348.
Demidenko, G.V. On asymptotic stability of solutions to nonlinear systems of differential equations with periodic coefficients / G.V. Demidenko, I.I. Matveeva // Selcuk J. Appl. Math. - 2002. - V. 3, № 2. - P. 37-48.
Демиденко, Г.В. Об устойчивости решений квазилинейных периодических систем дифференциальных уравнений / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 6. - С. 1271-1284.
Demidenko, G.V. On numerical study of asymptotic stability of solutions to linear periodic differential equations with a parameter / G.V. Demidenko, I.I. Matveeva // J. Comput. Math. Optim. - 2009. - V. 5, № 3. - P. 163-173.
Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. - М.: Наука, 1966.
Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970.
Якубович, В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. - М.: Наука, 1972.
Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. - М.: Наука, 1976.
Розенвассер, Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / Е.Н. Розенвассер. - М.: Наука, 1977.
Бодунов, Н.А. О зависимости устойчивости линейных периодических систем от периода / Н.А. Бодунов, Ф.Ф. Котченко // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, № 2.- С. 338-341.
Боголюбов, Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике / Н.Н. Боголюбов // Сб. тр. Ин-та строит. механики АН УССР. - Киев, 1950. - № 14. - С. 9-34.
Капица, П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса / П.Л. Капица // ЖЭТФ. - 1951. - Т. 21, вып. 5. - С. 588-597.
Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Физматгиз, 1963.
Митропольский, Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. - Киев: Наукова думка, 1971.
