Трехмерная симметричная задача протекания для уравнений Навье - Стокса
Ключевые слова:
задача протекания, симметричные решения, виртуальная дрена.Аннотация
В работе Ж. Лерэ (1933) доказана рассуждением от противного разрешимость краевой задачи для уравнений Навье - Стокса при дополнительном условии нулевого потока через каждую связную компоненту границы области течения. При этом же условии Э. Хопф (1941) получил априорную оценку решения. Остается открытым вопрос: имеет ли эта задача решение при выполнении лишь необходимого условия суммарного нулевого потока? Ранее разрешимость трехмерной задачи протекания установлена при малых значениях потоков (Х. Фуджита, 1961; Р. Финн, 1961), либо при условии близости течения к потенциальному (Х. Фуджита и Х. Моримото, 1995). В серии работ М.В. Коробкова, К. Пилецкаса и Р. Руссо (2011 - 2015) положительный ответ на этот вопрос получен для плоских и осесимметричных течений без ограничений на величину потоков. В данной работе задача протекания для уравнений Навье - Стокса рассматривается в трехмерной области типа сферического слоя. Получена априорная оценка решения этой задачи при следующих дополнительных условиях: течение имеет плоскость симметрии; поток через внутреннюю границу области положителен. Из этой оценки вытекает разрешимость указанной задачи.Библиографические ссылки
Leray J. Etude de diverses equations integrales non lineaires problemes que pose l'hydrodynamique. J. Math. Pures Appl., 1933, vol. 12, no. 9, pp. 1-82.
Hopf E. Ein allgemeiner Endlichkeitssatz der Hydrodynamik. Math. Ann., 1941, vol. 117, no. 1, pp. 764-775.
Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - 2-е изд. - М.: Наука, 1970.
Fujita H. On the Existence and Regularity of the Steady-State Solutions of the Navier - Stokes Equations. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. 1, 1961, vol. 9, pp. 59-102.
Finn R. On the Steady-State Solutions of the Navier - Stokes Equations. III. Acta Math., 1961, vol. 105, no. 3-4, pp. 197-244. DOI: 10.1007/BF02559590
Fujita H., Morimoto H. A Remark on the Existence of the Navier - Stokes Flow with Non-Vanishing Outflow Condition. Nonlinear Waves (Sapporo, 1995), GAKUTO Intern. Ser. Math. Sci. Appl., Gakkotosho, Tokyo, 1997, vol. 10, pp. 53-61.
Задача протекания для уравнений Навье - Стокса / М.В. Коробков, К. Пилецкас, В.В. Пухначев, Р. Руссо // Успехи математических наук. - 2014. - Т. 69, № 6 (420). - С. 115-176.
Takeshita A. A Remark on Leray's Inequality. Pacific J. Math., 1993, vol. 151, no. 1, pp. 151-158. DOI: 10.2140/pjm.1993.157.151
Сазонов, Л.И. О существовании стационарного симметричного решения двумерной задачи о протекании жидкости / Л.И. Сазонов // Математические заметки. - 1993. - Т. 54, № 6. - С. 138-141.
Fujita H. On Stationary Solutions to Navier - Stokes Equations in Symmetric Plane Domains under General Outflow Condition. Navier - Stokes equations: theory and numerical methods (Varenna, 1997), Pitman Res. Notes Math. Ser. Longman, Harlow, 1998, vol. 388, pp. 16-30.
Pukhnachev V.V. Viscous Flows in Domains with a Multiply Connected Boundary. New Directions in Mathematical Fluid Mechanics, Adv. Math. Fluid Mech., Basel, Birkhauser Verlag, 2010, pp. 333-348.
Пухначев, В.В. Симметрии в уравнениях Навье - Стокса / В.В. Пухначев // Успехи механики. - 2006. - Т. 4, № 1. - С. 6-76.
Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Rodionov A.A. Application of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1998. DOI: 10.1007/978-94-017-0745-9
Amick Ch.J. Existence of Solutions to the Nonhomogeneous Steady Navier - Stokes Equations. Indiana Univ. Math. J., 1984, vol. 33, no. 6, pp. 817-830. DOI: 10.1512/iumj.1984.33.33043
Fujita H., Morimoto H., Okamoto H. Stability Analysis of Navier - Stokes Flows in Annuli. Math. Methods Appl. Sci., 1997, vol. 20, no. 11, pp. 659-678. DOI: 10.1002/(SICI)1099-1476(19970725)20:11<959::AID-MMA895>3.0.CO;2-D
Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2 / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - 4-е изд. - М.: Физматгиз, 1963.
Pukhnachev V.V. Singular Solutions of Navier - Stokes Equations. Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, vol. XV: Advances in Mathematical Analysis of Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, Amer. Math. Soc., 2014, vol. 232, pp. 193-218.
