A Numerical Method for Inverse Spectral Problems
Ключевые слова:
обратная спектральная задача, дискретные и самосопряженные операторы, собственные числа, собственные функции, некорректно поставленные задачи.Аннотация
На основе метода Галеркина разработан новый численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных дискретными полуограниченными снизу операторами. В отличии от метода решения обратных спектральных задач, основанного на теории регуляризованных следов дискретных полуограниченными снизу операторов, в разработанном методе ослаблены ограничения на возмущающий оператор. Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации области исследования. Метод был апробирован на спектральных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали вычислительную эффективность метода.Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных полуограниченных снизу оператора, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений этих операторов можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами. Можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с большими номерами, когда применение метода Галеркина становится затруднительным.
Библиографические ссылки
Ambarzumian, V.A. Ueber eine frage der eigengwerttheorie / V.A. Ambarzumian // Zeits. f. Phisik. - 1929. - № 53. - P. 690-665.
Borg, G. Eine umkehrung der Sturm-Liouvilleschen eigenwertaufgabe / G. Borg // Acta Math. - 1945. - V. 78, № 3. - P. 1-90.
Марченко, В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка / В.А. Марченко // ДАН СССР. - 1950. - Т. 72, № 3.- С. 457-460.
Крейн, М.Г. Определение плотности неоднородной симметричной струны по спектру частот / М.Г. Крейн // ДАН СССР. - 1951. - Т. 76, № 3.- С. 345-348.
Садовничий, В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, № 7. - C. 1206-1211.
Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 9. - С. 1563-1567.
Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из $L^2$ / В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28, № 9. - С. 1552-1561.
Дубровский, В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям различных задач / В.В. Дубровский // Успехи математических наук. - 1996. - Т. 51, вып. 4. - С. 155-156.
Дубровский, В.В. Теорема существования в обратной задачи спектрального анализа / В.В. Дубровский // Дифференц. уравн. - 1997. - Т. 33, № 12. - С. 1702-1703.
Дубровский, В.В. К теореме существования решения в обратной задаче спектрального анализа / В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.) // Успехи математических наук. - 2001. - Т. 56, вып. 1. - С. 161-162.
Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для степеней оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2008. - № 2. - С. 34-42.
Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа / Г.А. Закирова, А.И. // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2008. - № 27 (127), вып. 2. - С. 19-27.
Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степеней оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.) // ДАН. - 2001. - Т. 337, № 3. - C. 310-312.
О восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.), Е.А. Пузанкова // ДАН. - 2001. - Т. 380, № 4. - C. 462-464.
Садовничий, В.А. О единственности решения обратных задач спектрального анализа / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Л.В. Смирнова // ДАН. - 2000. - Т. 370, № 3. - C. 319-321.
Садовничий, В.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степеней оператора Лапласа с потенциалом / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // ДАН. - 1999. - Т. 367, № 3. - C. 307-309.
Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 12. - C. 1693-1698.
Седов, А.И. О приближенном решении обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / А.И. Седов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - C. 73-78.
Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2013. - № 6 (107). - С. 23-30.
Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 4. - С. 15-25.
Кадченко, С.И. Решение обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник МаГУ. Серия: Математика. - 2013. - Вып. 15. - С. 34-43.
Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных спектральных задач, порож-денных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2013. - № 9 (100). - С. 5-11.
Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970. - 510 с.
Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М.: Наука, 1966. - 659 с.
Васильева, А.Б. Интегральные уравнения / А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов. - М.: МГУ, 1989. - 156 с.
