Метод негладких интегральных направляющих функций в задаче о существовании периодических решений включений с каузальными операторами
Ключевые слова:
включение, каузальный оператор, негладкая интегральная направляющая функция, периодические решения, топологическая степень совпадения.Аннотация
Как известно, дифференциальные включения являются очень удобным математическим аппаратом, моделирующим нелинейные управляемые системы с обратной связью, системы автоматического регулирования, системы с разрывными и импульсными характеристиками и другие объекты современной инженерии, механики, физики. В настоящей работе предлагаются новые методы решения задачи о периодических колебаниях управляемых объектов, описываемых дифференциальным включением с каузальным оператором. Впервые дифференциальные уравнения с каузальным оператором, или уравнения типа Вольтерра, были рассмотрены Л. Тонелли и А.Н. Тихоновым. А.Н. Тихонов использовал их в качестве модели при изучении ряда задач теплопроводности, в частности, задачи об остывании тела при лучеиспускании с поверхности. В первой части работы предполагается, что правая часть включения является многозначным отображением, имеющим выпуклые замкнутые значения. Далее предполагается, что правая часть включения невыпуклозначна и полунепрерывна снизу. В силу специфики рассматриваемого объекта в качестве основного инструмента исследования рассматриваемой задачи в обоих случаях используется модифицированный метод классической направляющей функции. А именно, метод негладкой интегральной направляющей функции. Применение теории топологической степени и указанного метода позволяет установить разрешимость периодической задачи в каждом из рассматриваемых случаев.Библиографические ссылки
Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra. Bulletin of Calcutta Mathematical Society, 1930, vol. 20, P. 31-48.
Tihonov A.N. On Functional Equations of Volterra Type and Their Applications to Some Problems of Mathematical Physic. Bulletin of the Moscow State University. Section A. Series: Mathematics and Mechanics, 1938, vol. 1, issue 8, pp. 1-25. (in Russian)
Corduneanu, C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications. London: Taylor and Francis, 2002.
Drici Z., McRae F.A., Devi J. Vasundhara Differential Equations with Causal Operators in a Banach Space. Nonlinear Analysis, 2005, vol. 62, no. 2, pp. 301-313.
Drici Z., McRae F.A., Vasundhara D.J. Monotone Iterative Technique for Periodic Boundary Value Problems with Causal Operators. Nonlinear Analysis, 2006, vol. 64, no. 6, pp. 1271-1277.
Jankowski T. Boundary Value Problems with Causal Operators. Nonlinear Analysis, 2008, vol. 68, no. 12, pp. 3625-3632.
Lupulescu V. Causal Functional Differential Equations in Banach Spaces. Nonlinear Analysis, 2008, vol. 69, no. 12, pp. 4787-4795.
Burlakov E.O., Zhukovskiy E.S. The Continuous Dependence of Solutions to Volterra Equations with Locally Contracting Operators on Parameters. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2010, no. 8, pp. 12-23. DOI: 10.3103/S1066369X10080025
Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy T.V., Alves M.J. Correctness of Equations with Generalized Volterra Maps of Metric Spaces. Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2010, vol. 15, issue 6, pp. 1669-1672. (in Russian)
Obukhovskii V., Zecca P. On Certain Classes of Functional Inclusions with Causal Operators in Banach Spaces. Nonlinear Analysis, 2011, vol. 74, no. 8, pp. 2765-2777.
Krasnosel'skii M.A. Operator sdviga po traektoriyam differentsial'nykh uravneniy [The Operator of Translation along the Trajectories of Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1966. 332 p.
Krasnosel'skii M.A., Perov A.I. On Existence Principle for Bounded, Periodic and Almost Periodic Solutions to the Systems of Ordinary Differential Equations. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1958, vol. 123, no. 2, pp. 235-238.(in Russian)
Krasnosel'skii M.A., Zabreiko P.P. Geometricheskie metody nelineynogo analiza [Geometrical Methods of Nonlinear Analysis]. Moscow, Nauka, 1975. 512 p.
Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society. Providence, 1979. DOI: 10.1090/cbms/040
Mawhin J., Ward J.R. Guiding-like Functions for Periodic or Bounded Solutions of Ordinary Differential Equations. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2002, vol. 8, no 1, pp. 39-54.
Borisovich Yu.G., Gel'man B.D., Myshkis A.D., Obukhovskii V.V. Vvedenie v teoriyu mnogoznachnykh otobrageniy i differentsial'nykh vklyucheniy [Introduction to the Theory of Multivalued Maps and Differential Inclusions]. Moscow, Librokom, 2011. 226 p.
G'orniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.
Fonda A. Guiding Functions and Periodic Solutions to Functional Differential Equations. Proceedings of the American Mathematical Society, 1987, vol. 99, no 1, pp. 79-85.
Kornev S., Obukhovskii V. On Some Developments of the Method of Integral Guiding Functions. Functional Differential Equations, 2005, vol. 12, no. 3-4, pp. 303-310.
Loi N.V., Obukhovskii V., Zecca P. On the Global Bifurcation of Periodic Solutions of Differential Inclusions in Hilbert Spaces. Nonlinear Analysis, 2013, vol. 76, pp. 80-92.
Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.C. On Asymptotics of Solutions for a Class of Functional Differential Inclusions. Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014, vol. 34, issue 2, pp. 219-227.
Kornev S.V., Obukhovskii V.V. On Asymptotic Behavior of Solutions of Differential Inclusions and the Method of Guiding Functions. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 6, pp. 711-716. DOI: 10.1134/S0012266115060014
Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of Guiding Functions in Problems of Nonlinear Analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.
Deimling K. Multivalued Differential Equations. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1992. DOI: 10.1515/9783110874228
Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 2001. DOI: 10.1515/9783110870893
Fryszkowski A. Fixed Point Theory for Decomposable Sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004. DOI: 10.1007/1-4020-2499-1
Clark F. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, 1983. 308 p.
