О решении одной обратной задачи, моделирующей двумерное движение вязкой жидкости

Аннотация

Рассматривается обратная начально-краевая задача для линейного параболического уравнения, которая возникает при математическом моделировании двумерных ползущих движений вязкой жидкости в плоском канале. Неизвестная функция времени входит в правую часть уравнения аддитивно и находится из дополнительного условия интегрального переопределения. Поставленная задача имеет два разных интегральных тождества, которые позволяют получить априорные оценки решения в равномерной метрике и доказать теорему единственности. При некоторых ограничениях на входные данные решение построено в виде ряда по специальному базису. Для этого задача путем дифференцирования по пространственной переменной сводится к прямой неклассической задаче с двумя интегральными условиями вместо обычных краевых. Новая задача решается методом разделения переменных, позволяющим найти неизвестные функции в виде быстро сходящихся рядов. Другой, стандартный, метод решения исходной задачи состоит в сведении ее к нагруженному уравнению и первой начально-краевой задаче для него. В свою очередь, эта задача сведена к одномерному по времени операторному уравнению Вольтерры со специальным ядром. Доказано, что оно имеет решение в виде ряда. Установлены некоторые вспомогательные формулы, полезные при численном решении этого уравнения методом преобразования Лапласа. Установлены достаточные условия, при которых решение с ростом времени выходит на стационарный режим по экспоненциальному закону.