Inverse Problems for Mathematical Models of Quasistationary Electromagnetic Waves in Anisotropic Nonmetallic Media with Dispersion
DOI:
https://doi.org/10.14529/mmp180105Ключевые слова:
уравнения соболевского типа, эллиптическое уравнение, уравнения с памятью, обратная задача, краевая задача.Аннотация
В работе рассматриваются обратные задачи эволюционного типа для математических моделей квазистационарных электромагнитных волн. В модели предполагается, что длина волны мала по сравнению с пространственными неоднородностями. Вводя электрический и магнитный потенциал получаем эллиптическое уравнение второго порядка по пространственным переменным, содержащее интегральные слагаемые типа свертки по времени. После дифференцирования по времени задача сводится к уравнению составного типа с интегральным слагаемым. Определению вместе с решением подлежат неизвестные коэффициенты в интегральном операторе. Дополнительно к краевым условиям задаются условия переопределения в виде заданного набора функционалов от решения, которые могут иметь произвольный вид (интегралы от решения с весом, значения решения в отдельных точках и пр.). В качестве основных пространств рассматриваются пространства С.Л. Соболева. Доказываются теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи в целом по времени, приводится оценка устойчивости.Библиографические ссылки
Sveshnikov A.G., Alshin A.B., Korpusov M.O., Pletner U.D. Lineynye i nelineynye uravneniya sobolevskogo tipa [Linear and Non-Linear Sobolev Equations]. Moscow, Fizmatlit, 2007. (in Russian)
Gabov S.A., Sveshnikov A.G. Lineynye zadachi teorii nestatsionarnykh vnutrennikh voln [Linear Problems of the Theory of Nonstationary Interior Waves]. Moscow, Nauka, 1990. (in Russian)
Lorenzi A., Paparone I. Direct and Inverse Problems in the Theory of Materials with Memory. Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova, 1992, vol. 87, pp. 105-138.
Janno J., Von Wolfersdorf L. Inverse Problems for Identication of Memory Kernels in Viscoelasticity. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 1997, vol. 20, pp. 291-314. DOI: 10.1002/(SICI)1099-1476(19970310)20:4<291::AID-MMA860>3.0.CO;2-W
Durdiev D.K., Safarov Zh.Sh. Inverse Problem of Determining the One-Dimensional Kernel of the Viscoelasticity Equation in a Bounded Domain. Mathematical Notes, 2015, vol. 97, no. 6, pp. 867-877. DOI: 10.1134/S0001434615050223
Colombo F., Guidetti D. An Inverse Problem for a Phase-Field Model in Sobolev Spaces. Nonlinear Elliptic and Parabolic Problems. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Basel, Birkhauser Verlag, 2005, vol. 64, pp. 189-210.
Guidetti D., Lorenzi A. A Mixed Type Identication Problem Related to a Phase-Field Model with Memory. Osaka Journal of Mathematics, 2007, vol. 44, pp. 579-613.
Colombo F., Guidetti D. A Global in Time Existence and Uniqueness Result for a Semilinear Integrodierential Parabolic Inverse Problem in Sobolev Spaces. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2007, vol. 17, no. 4, pp. 537-565.
DOI: 10.1142/S0218202507002017
Colombo F. On Some Methods to Solve Integro-Differential Inverse Problems of Parabolic Type. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2015, vol. 8, no. 3, pp. 95-115.
Favini A., Lorenzi A. Identication Problems for Singular Integro-Differential Equations of Parabolic Type. Nonlinear Analysis, 2004, vol. 56, no. 6, pp. 879-904. DOI: 10.1016/j.na.2003.10.018
Lorenzi A., Tanabe H. Inverse and Direct Problems for Nonautonomous Degenerate IntegroDifferential Equations of Parabolic Type with Dirichlet Boundary Conditions. Differential
Equations: Inverse and Direct Problems. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Boca Raton, London, N.Y., Chapman and Hall/CRC Taylor and Francis Group, 2006, vol. 251, pp. 197-244.
Abaseeva N., Lorenzi A. Identication Problems for Nonclassical Integro-Differential Parabolic Equations. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 2005, vol. 13, no. 6, pp. 513-535. DOI: 10.1515/156939405775199523
Asanov A., Atamanov E.R. An Inverse Problem for a Pseudoparabolic Integro-Defferential Operator Equation. Siberian Mathematical Journal, 1995, vol. 38, no. 4, pp. 645-655. DOI: 10.1007/BF02107322
Avdonin S.A., Ivanov S.A., Wang J. Inverse Problems for the Heat Equation with Memory, 2017, 10 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1612.02129 (accessed February 09, 2018).
Pandolic L. Identification of the Relaxation Kernel in Diffusion Processes and Viscoelasticity with Memory via Deconvolution, 2016, 15 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1603.04321
(accessed February 09, 2018).
Denisov A.M. An Inverse Problem for a Quasilinear Integro-Differential Equation. Differential Equations, 2001, vol. 37, no. 10, pp. 1420-1426. DOI: 10.1023/A:1013320315508
Triebel H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978.
Ladyzhenskaya O.A, Ural'tseva N.N. Linear and Quasilinear Elliptic Equations. N.Y., Academic Press, 2016.
Gilbarg D., Trudinger N. Ellipticheskie differentsial'nye uravneniya s chastnymi proizvodnymi vtorogo poryadka [Elliptic Differential Equation with Partial Derivative of the Second Order]. Moscow, Nauka, 1989.
Maugeri A., Palagachev D.K., Softova L.G. Elliptic and Parabolic Equations with Discontinuous Coeficients. Berlin, Wiley-VCH Verlag, 2000. DOI: 10.1002/3527600868
