Mathematical Model of a Wide Class Memory Oscillators
DOI:
https://doi.org/10.14529//mmp180209Ключевые слова:
математическая модель, задача Коши, эредитарность, производная дробного порядка, конечно-разностная схема, устойчивость, сходимость, осциллограммы, фазовые траектории.Аннотация
В работе предложена математическая модель для описания широкого класса эредитарных осцилляторов или осцилляторов с памятью. В качестве базового уравнения в такой модели выступает интегро-дифференциальное уравнения вольтеровского типа с разностными ядрами - функциями памяти, которые были выбраны степенными функциями. Этот выбор, с одной стороны, обусловлен широкими приложениями степенных законов и фрактальными свойствами процессов в природе, а с другой, дает возможность применить математический аппарат дробного исчисления. Далее, в работе модельное интегро-дифференциальное уравнение было записано в терминах производных дробных порядков Герасимова - Капуто. Используя аппроксимации операторов дробных порядков, была составлена нелокальная явная конечно-разностная схема, которая дает численное решение предложенной модели. С помощью лемм и теорем сформулированы условия устойчивости и сходимости полученной схемы. Приведены примеры работы численного алгоритма для некоторых эредитарных осцилляторов, построены их осциллограммы и фазовые траектории.Библиографические ссылки
Volterra V. Sur les equations integro-differentielleset leurs applications. Acta Mathematica, 1912, vol. 35, no. 1, pp. 295-356. DOI: 10.1007/BF02418820
Mainardi F. Fractional Relaxation-Oscillation and Fractional Diffusion-Wave. Chaos, Soliton and Fractal, 1996, vol. 7, no. 9, pp. 1461-1477. DOI: 10.1016/0960-0779(95)00125-5
Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Berlin, Heidelberg, Springer, 2011. DOI: 10.1007/978-3-642-18101-6
Xu Y., Agrawal O.P. Models and Numerical Solutions of Generalized Oscillator Equations. Journal of Vibration and Acoustics, 2014, vol. 136, Article ID 051005. DOI: 10.1115/1.4027241
Parovik R.I. Mathematical Modeling of Nonlocal Oscillatory Duffing System with Fractal Friction. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2015, vol. 10, no. 1, pp. 16-21.
Parovik R.I. On a Credit Oscillatory System with the Inclusion of Stick-Slip. E3S Web of Conferences, 2016, vol. 11, Article ID 00018.
Parovik R.I. Mathematical Modelling of Hereditarity Airy Oscillator with Friction. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2017, vol. 10, no. 1, pp. 138-148. DOI: 10.14529/mmp170109
Kim V.A. Duffing Oscillator with External Harmonic Action and Variable Fractional Riemann-Liouville Derivative Character - Izing Viscous Friction. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2016, vol. 13, no. 2, pp. 46-49.
Lipko O.D. Mathematical Model of Propagation of Nerve Impulses with Regard Hereditarity. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2017, vol. 16, no. 1, pp. 33-43.
Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Dierential Equations. Amsterdam, Elsevier, 2006.
Schroeder M. Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise. New York, W.H. Freeman, 1991.
Parovik R.I. Explicit Finite-Dierence Scheme for the Numerical Solution of the Model Equation of Nonlinear Hereditary Oscillator with Variable-Order Fractional Derivatives. Archives of Control Sciences, 2016, vol. 26, no. 3, pp. 429-435. DOI: 10.1515/acsc-2016-0023
Xu Y., Erturk V.S. A Finite Dierence Technique for Solving Variable-Order Fractional Integro-Differential Equations. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 2014, vol. 40, no. 3, pp. 699-712.
