Оптимизация полигармонического импульса

Аннотация

В теории и практике создания некоторых технических устройств имеется необходимость оптимизации тригонометрических полиномов. В статье изложено решение задачи оптимизации тригонометрического полинома (полигармонического импульса) $f(t):=\sum\limits_{k=1}^n\,f_k\cos(kt)$ по коэффициенту несимметрии $ k := \frac{f_{max}}{|f_{min}|}, \ \ \ f_{max} \ \ := \max\limits_t\,f(t,\lambda), \ \ f_{min} := \min\limits_t\,f(t,\lambda)$. Вычислены оптимальные значения главных амплитуд. В основу представленного в статье анализа положено понятие <<минимального страта Максвелла>>, под которым подразумевается модмножество многочленов фиксированной степени с максимально возможным количеством минимумов при условии, что все минимумы расположены на одном уровне (значения многочлена во всех точках минимума равны между собой). Многочлен $f(t)$ при выполнении данного условия называется максвелловским. Отправной точкой проведенного исследования послужил экспериментально найденный авторами оптимальный набор значений коэффициентов $f_k$ для произвольного $n$. Позже появилось доказательство единственности оптимального многочлена с максимальным количеством минимумов на отрезке $[0,\pi]$ и найдена общая формула масквелловского многочлена степени $n$, связанная с ядром Фейера, для которого коэффициент несимметрии равен $n$. Возникла естественная гипотеза о том, что ядро Фейера задает оптимальный многочлен. В настоящей статье дано обоснование справедливости этой гипотезы.