Свойства равновесий по Нэшу в дифференциальных играх с запаздыванием

Аннотация

Исследуются свойства равновесий по Нэшу в дифференциальной игре двух лиц с ненулевой суммой и постоянным запаздыванием времени. Показано, что равновесные стратегии могут быть не единственными и не всегда эффективными с точки зрения совместного улучшения критериев обоих игроков. Указаны способы преодоления этих недостатков. При этом используется метод функций Ляпунова–Четаева, развитый Н.Н. Красовским применительно к задачам аналитического конструирования оптимального регулятора в системах с запаздыванием времени. Сформулированы достаточные условия существования допустимых стратегий, которые одновременно уменьшают значения функционалов выигрыша обоих игроков по сравнению с равновесными значениями. Для линейных игр с квадратичными функционалами выигрыша эти условия сведены к проверке определённой отрицательности матричных функций, зависящих от решений систем дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Получены явные формы улучшающих стратегий в частном случае, когда матрицы управления и весовые матрицы критериев совпадают с единичной. Кроме того, выделен класс равновесий, обладающих свойством оптимальности по Парето: для них любое совместное отклонение не может одновременно улучшить критерии обоих игроков. Указаны достаточные условия Парето-оптимальности и полуэффективности равновесных стратегий в линейно-квадратичных играх с запаздыванием. Результаты могут использоваться при проектировании устойчивых стратегий в мультиагентных системах, экономических моделях и задачах управления с задержкой обратной связи.