Применение априорных оценок интегральной нагрузки гиперболического уравнения Кирхгофа для его редукции к линейному уравнению

Аннотация

Целью работы является установление априорных оценок для интегральной нагрузки гиперболического уравнения Кирхгофа , моделирующего некоторые нелинейные колебательные процессы. В рассматриваемом случае нагрузкой является рациональная степень m/n линейной функции от нормы искомого решения в пространстве H1(Ω). Для достижения указанной цели производятся интегральные преобразования слагаемых скалярного произведения исходного уравнения и временной производной его решения. Применение интегрального неравенства типа Гронуолла–Беллмана приводит к искомым оценкам. Таким способом установлены априорные неравенства, ограничивающие интегральную нагрузку уравнения Кирхгоффа известной функцией, зависящей от правой части уравнения и начальных условий, а также от знака и вида показателя степени. Показан способ редукции уравнения Кирхгоффа к линейному уравнению путем замены интегральной нагрузки правыми частями этих оценок. Приведен пример такой редукции. Описанный способ установления априорных оценок и последующей редукции нелинейного уравнения к линейному может быть применен к широкому классу нагруженных уравнений, содержащих модуль интеграла рациональной степени искомой функции или ее производной.