О решениях однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов второй степени

Аннотация

Рассмотрена однородная задача Шварца для вектор-функций, аналитических по Дуглису. Данные функции являются решениями однородной эллиптической системы в частных производных первого порядка, которая зависит от матрицы с комплексными коэффициентами. Предполагается, что определитель комплексной части этой матрицы отличен от нуля. Показано, что реальная часть функции, аналитической по Дуглису, будет решением некоторой однородной системы второго порядка в частных производных. Зная решение задачи Дирихле для данной системы, можно построить решение задачи Шварца, соответствующее исходной матрице. Нужное решение задачи Дирихле ищем в виде вектор-полинома второй степени с линейно зависимыми компонентами. После подстановки такой функции в полученную систему уравнений в частных производных получаем однородную вещественную алгебраическую систему. Эта система имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая к нулю соответствующий определитель, получаем алгебраическое уравнение с двумя переменными. Далее доказывается основная теорема о том, что существование произвольного ненулевого вещественного решения данного алгебраического уравнения является необходимым и достаточным условием существования соответствующего исходной матрице решения однородной задачи Шварца в виде вектор-полинома второй степени. В заключение статьи построен пример