ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЗИЧЕСКОГО СПЛАЙНА

Виктор Анатольевич Короткий, Игорь Георгиевич Витовтов

Аннотация


Физическим сплайном называют упругий стержень, размеры поперечного сечения кото-рого весьма малы по сравнению с длиной и радиусом кривизны его оси. Пример физического сплайна – тонкая металлическая линейка. Такая линейка, проходя через заданные точки, ес-тественным образом приобретает «природоподобную» форму, характеризующуюся мини-мальной энергией внутренних напряжений и минимальной средней кривизной. Поиск урав-нения упругой линии представляет собой сложную математическую задачу, не имеющую элементарного решения. В статье рассматриваются полиномиальные и параметрические спо-собы геометрического моделирования физического сплайна, проходящего через наперед за-данные точки. Упругая линия физического сплайна получена экспериментально. Показано, что полиномиальная модель заметно отличается от экспериментально полученного физиче-ского сплайна, что ставит под сомнение возможность использования кубических полиномов для моделирования упругой линии с большими прогибами. Параметризованная модель на основе кривых Фергюсона дает высокую точность аппроксимации, если в базисных точках заданы касательные к упругой линии физического сплайна. Рассмотрены примеры модели-рования физического сплайна со свободными и защемленными концами. В случае свободно-го сплайна погрешность параметрической модели составила 0,4 %, для сплайна с защемлен-ными концами получена погрешность менее 1,5 %. Вычисления выполнены с помощью про-граммного средства SMath Studio.

Ключевые слова


аффинное сжатие, кубическая кривая, кривая Фергюсона, полиноми-альная модель, параметрическая модель, векторная производная, графическое дифференцирование

Полный текст:

PDF

Литература


Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. – М.: Изд-во физико-

математической литературы, 2012. – 472 с.

Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г.С. Иванов. – М.: Машинострое-

ние, 1998. – 157 с.

Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik / G. Glaeser. – Springer Spektrum,

– 508 pp. DOI 10.1007/978-3-642-41852-5

Завьялов, Ю.С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А. Леус, В.А. Скороспелов. –

М.: Машиностроение, 1985. – 224 с.

Попов, Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е.П. Попов. – М.: ГИТТЛ, 1948. – 172 с.

Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс,

М. Пратт. – М.: Мир, 1982. – 304 с.

Конопацкий Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед

заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6,

№ 3. – С. 20–32. DOI: 10.12737/article_5bc457ece18491.728077358. Любчинов, Е.В. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог / Е.В. Любчинов, К.Л. Панчук // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». – 2020. – Т. 20, № 1. – С. 52–62. DOI: 10.14529/build200106 9. Понтрягин, Л.С. Кубическая парабола / Л.С. Понтрягин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». – 1984. – № 3. – С. 10–14, 32. 10. Уокер, Р. Алгебраические кривые / Р. Уокер. – М.: Книжный дом «Либроком», 2009. – 240 с. 11. Шикин, Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера / Е.В. Шикин, Л.И. Плисс. – Диалог-МИФИ, 1996. – 240 с. 12. Курс начертательной геометрии (с учетом принципов программированного обучения) / под ред. Н.Ф. Четверухина. – М.: Высшая школа, 1968. – 266 с. 13. Прасолов, В.В. Геометрия / В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров. – М.: Изд-во МЦНМО, 2013. – 336 с. 14. Савелов, А.А. Плоские кривые / А.А. Савелов. – М.: Книжный дом «Либроком», 2009. – 296 с.

Короткий, В.А. Кубические кривые в инженерной геометрии / В.А. Короткий // Геометрия и гра-фика. – 2020. Т. 8, № 3. – С. 3–24. DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-24


Ссылки

  • На текущий момент ссылки отсутствуют.