Анализ параллельных алгоритмов для симметризованных треугольных методов решения сеточных эллиптических уравнений
DOI:
https://doi.org/10.14529/cmse260301Ключевые слова:
сеточные уравнения, уравнение Пуассона, итерационные методы, метод верхней релаксации, SSOR, параллельные алгоритмы, декомпозиция области, OpenMP, ускорениеАннотация
Развитие эффективных вычислительных методов для моделирования сложных физических процессов в прибрежных зонах, таких как Азовское море, требует решения крупных систем сеточных эллиптических уравнений. В работе выполнен анализ параллельных алгоритмов для симметризованных треугольных методов решения данных уравнений. Целью исследования является разработка и исследование масштабируемости параллельных реализаций метода симметричной последовательной верхней релаксации (SSOR), ориентированных на архитектуры с общей памятью. На основе теоретического анализа метода SSOR и его свойств как предобуславливателя для метода сопряженных градиентов предложен параллельный алгоритм, использующий декомпозицию расчетной области и диагональный порядок обхода подобластей для минимизации простоев потоков. Для модельной задачи Дирихле для уравнения Пуассона на квадратной области проведена серия численных экспериментов, позволяющих оценить влияние параметра релаксации ω на скорость сходимости, а также определить ускорение параллельной реализации на различных сетках. Полученные результаты демонстрируют высокую эффективность предложенного подхода при умеренном числе потоков и подтверждают перспективность использования симметризованных методов в качестве основы для построения параллельных предобуславливателей в задачах экологического моделирования.
Библиографические ссылки
Kovaleva G.V. The problem of water "bloom" in the Sea of Azov. Proceedings of the Southern Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences. 2020. Vol. 8. P. 122–148. (in Russian) DOI: 10.23885/1993-6621-2020-8-122-148.
Matishov G.G., Kulygin V.V., Valov G.V., et al. Modern problems of hydrophysical processes modeling (on the example of the Sea of Azov). Science of the South of Russia. 2020. Vol. 16, no. 1. P. 36–44. (in Russian) DOI: 10.7868/S25000640200105.
Darian H.M. The optimal relaxation parameter for the SOR method applied to the Poisson equation on rectangular grids with different types of boundary conditions. Journal of Computational and Theoretical Transport. 2026. Vol. 55, no. 1. P. 26–54. DOI: 10.1080/23324309.2025.2583184.
Axelsson O. A generalized SSOR method. BIT Numerical Mathematics. 1972. Vol. 12. P. 443–467. DOI: 10.1007/BF01932955.
Chen C.-S., Wang W., Li Y.-C., et al. Dynamical Optimal Values of Parameters in the SSOR, AOR, and SAOR Testing Using Poisson Linear Equations. Mathematics. 2023. Vol. 11, no. 18. P. 3828. DOI: 10.3390/math11183828.
Butyugin D.S. Parallel SSOR preconditioner for solving frequency-domain electromagnetism problems. Parallel Computational Technologies (PCT’2011): Proceedings of the International Scientific Conference, Moscow, Russia, March 28 – April 1, 2011 / ed. by L.B. Sokolinsky, K.S. Pan. Moscow: Publishing of the South Ural State University, 2011. P. 49–59. (in Russian) EDN: TBLWGZ.
Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Nikitina A.V., et al. Construction of parallel algorithms for modeling hydrodynamic processes in the Sea of Azov based on hybrid MPI+OpenMP technology. Computational Continuum Mechanics. 2023. Vol. 16, no. 1. P. 17–35. (in Russian) DOI: 10.7242/1999-6691/2023.16.1.2.
Sukhinov A.I., Litvinov V.N., Chistyakov A.E., et al. Solving Grid Equations Using the Alternating-Triangular Method on a Graphics Accelerator. Bulletin of the South Ural State University. Series: Computational Mathematics and Software Engineering. 2023. Vol. 12, no. 2. P. 78–92. DOI: 10.14529/cmse230204.
Sidoryakina V.V., Solomakha D.A. Symmetrized Versions of the Seidel and Upper Relaxation Methods for Solving Two-Dimensional Difference Problems of Elliptic Type. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023. Vol. 7, no. 3. P. 12–19. (in Russian) DOI: 10.23947/2587-8999-2023-7-3-12-19.
Chetverushkin B.N., Yakobovskiy M.V., Kornilina M.A., Semenova A.V. Numerical Algorithms for HPC Systems and Fault Tolerance. Parallel Computational Technologies. Vol. 1063 / ed. by L. Sokolinsky, M. Zymbler. Cham: Springer, 2019. P. 34–44. Communications in Computer and Information Science. DOI: 10.1007/978-3-030-28163-2_3.
Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Alekseenko E.V. Numerical realization of three-dimensional model of hydrodynamics for shallow water basins on high-performance system. Mathematical Models and Computer Simulations. 2012. Vol. 4, no. 5. P. 427–441. DOI: 10.1134/S2070048212050083.
