Параллельные методы и технологии декомпозиции областей

Валерий Павлович Ильин

Аннотация


Рассматриваются параллельные методы декомпозиции областей для решения трехмерных сеточных краевых задач, получаемых в результате конечно-элементных или конечно-объемных аппроксимаций. Данные проблемы являются «узким горлышком» среди различных этапов математического моделирования, поскольку современные требования к разрешающей способности сеточных алгоритмов приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных в сотни миллионов и с очень плохой обусловленностью, что вызывает экстремальную ресурсоемкость расчетов. Описываются многопараметрические варианты алгоритмов с различной размерностью декомпозиции — одномерной, двумерной и трехмерной, — с пересечением или без пересечения подобластей, при использовании величин перехлеста как оптимизирующих параметров, а также с различными видами внутренних условий сопряжения на смежных границах(Дирихле, Неймана или третьего рода).Исследуются вариационные итерационные процессы крыловского типа в пространствах следов с разными предобуславливающими подходами: операторы Пуанкаре–Стеклова, блочный метод Чиммино, альтернирующий метод Шварца аддитивного типа, а также грубо-сеточная коррекция, являющаяся в определенном смысле упрощенным вариантом алгебраического многосеточного подхода. Проводится сравнительный анализ критериев эффективности распараллеливания на многопроцессорных вычислительных системах


Ключевые слова


декомпозиция областей, трехмерные краевые задачи, сеточные аппроксимации, параллельные итерационные алгоритмы в пространствах Крылова, предобуславливающие операторы

Полный текст:

PDF

Литература


Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. – М.: Наука, 1980.

Ильин, В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В.П. Ильин. – Новосибирск, изд. ИВМ СО РАН, 2000.

Лебедев, В.И. Операторы Пуанкаре – Стеклова и их приложения в анализе / В.И.Лебедев, В.И.Агошков, –М.: Отдел вычислительной математики АНСССР, изд. ВИНИТИ, 1983.

Quarteroni, A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations / A. Quarteroni, A. Valli – Clarendon Press, Oxford, 1999.

Smith, B.F. Domain Decomposition: Parallel Multilevel Methods for Elliptic Partial Differential Equations / B.F. Smith, P.E. Bjorstad, W.D. Gropp – Cambridge University Press, 2004.

Toselli, A. Domain Decomposition Methods. Algorithms and Theory / A. Toselli, O. Widlund – Springer, Berlin, 2005.

Ильин, В.П. Параллельные процессы на этапах петафлопного моделирования / В.П. Ильин // Вычислительные методы и программирование. – 2011. – Т. 12, № 1. – С. 93–99.

Nataf, F. Optimized Schwarz Methods. // Lecture Notes in Computer Science and Engineering. – Springer–Verlag, Berlin, 2009. – P. 233–240.

Ильин, В.П. Параллельные методы декомпозиции в пространствах следов / В.П. Ильин, Д.В. Кныш // Вычислительные методы и программирование. – Изд. МГУ, 2011. – Т. 12, № 1. – С. 100–109.

Смелов, В.В. Принцип итерирования по подобластям в задачах с эллиптическим уравнением. / В.В. Смелов В.В., Т.Б. Журавлева. – М.: Изд. ВИНИТИ, 1981. – (Препринт / ОВМ РАН; № 14).

Сандер, С.А. Модификация алгоритма Шварца для решения сеточных краевых задач в областях, составленных из прямоугольников и параллелепипедов. / С.А. Сандер. – Новосибирск, 1981. – (Препринт / Изд. ВЦ СО АН СССР; № 83).

Мацокин,А.М.Применение окаймления при решении систем сеточных уравнений / А.М. Мацокин, С.В. Непомнящих // Вычислительные алгоритмы в задачах матемаической физики – Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1983. – С. 99–109.

Лебедев, В.И. Вариационные алгоритмы метода разделения области / В.И. Лебедев, В.И. Агошков – М., 1983. – (Препринт / ОВМ РАН, № 54).

Непомнящих,С.В.О применении метода окаймления к смешанной краевой задаче для эллиптических уравнений и о сеточных нормах в W1/2 2 (S)./С.В.Непомнящих. – Новосибирск, 1984. – (Препринт / Изд. ВЦ СОАН СССР, № 106).

Кузнецов, Ю.А. Новые алгоритмы приближенной реализации неявных разностных схем / Ю.А. Кузнецов – М., 1987. – (Препринт / ОВМ АН СССР, № 142).

Свешников, В.М. Построение прямых и итерационных методов декомпозиции / В.М. Свешников // Сиб. журн. индустр. математики. – 2009. – Т. 12, № 3(39). – С. 99–109.

Tang, J.M. Comparison of Two-level Preconditioners Derived from Deflation, Domain Decomposition and Multigrid Methods / J.M. Tang, R. Nabben, C. Vuik, Y.A. Erlangga // J. Sci. Comput. – 2009. – V. 39. – P. 340–370.

Domain Decomposition Methods. URL: http://ddm.org (дата обращения: 14.03.2012) 19. Ильин, В.П. Методы и технологии конечных элементов / В.П. Ильин – Новосибирск, изд. ИВМиМГ СО РАН, 2007.

Ильин, В.П. Об итерационном методе Качмажа и его обобщениях. // Сиб. журн. индустр. математики. – 2006. – Т. 9, № 3. – С. 39–49.




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse120103