О задаче по восстановлению коэффициентов-функций времени источников специального вида в параболическом уравнении
Аннотация
Исследуется обратная задача по идентификации коэффициентов, зависящих только от времени, при источнике специального вида в линейных параболических уравнениях с точечными условиями переопределения. К исследуемым обратным задачам, в частности, приводятся краевые задачи с нелокальными (интегральными) краевыми условиями. Специфика рассматриваемой в данной работе обратной задачи заключается в том, что восстанавливаемые коэффициенты находятся при свободном члене и они зависят только от временной переменной. Предлагается методика численного решения задачи с применением метода прямых, основанная на использовании специального вида представления решения. Методом прямых задача приводится к параметрически обратной задаче относительно обыкновенной системы дифференциальных уравнений. Для ее решения предложено представление этого решения в специальном виде. Построены вспомогательные краевые задачи, которые определяют решение исходной задачи. Наиболее существенным в данной работе является то, что предлагаемый подход к численному решению исследуемой обратной задачи по идентификации коэффициентов не требует (в отличие от ранее известных методов) построения каких-либо итерационных процедур. Приводятся результаты численных экспериментов виде таблиц и графиков, полученных при решении тестовой задачи, и их анализ.
Ключевые слова
Полный текст:
PDFЛитература
Aida-zade K.R., Rahimov A.B. Solution to classes of inverse coefficient problems and problems with nonlocal conditions for parabolic equations. Differential Equations. 2015. Vol. 51, no. 1. P. 83–93. DOI: 10.1134/S0012266115010085.
Belavin V.A., Kapitza S.P., Kurdyumov S.P. A mathematical model of global demographic processes with regard to the spatial distribution. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. Vol. 38, no. 6. P. 849–865.
Vodahova V.A. A boundary value problem with A.M. Nakhushev's nonlocal condition for a pseudoparabolic equation of moisture transfer. Differential Equations. 1982. Vol. 18, no. 2. P. 280–285. (in Russian)
Ionkin N.I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. Differential Equations. 1977. Vol. 13. no. 2. P. 294–304. (in Russian)
Kozhanov A.I. A Nonlinear Loaded Parabolic Equation and a Related Inverse Problem. Mathematical Notes. 2004. Vol. 76, no. 78. P. 784–795. DOI: 10.1023/B:MATN.0000049678.16540.a5.
Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology. M.: Vysshaya Shkola, 1995. 305 p. (in Russian)
Prilepko A.I., Solov'ev V.V. Solvability theorems and the rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type. I. Differential Equations. 1987. Vol. 23, no. 10. P. 1791–1799. (in Russian)
Prilepko A.I., Tkachenko D.S. Well-posedness of the inverse source problem for parabolic systems. Differential Equations. 2004. Vol. 40, no. 11. P. 1619–1626.
Pulkina L.S. On one class of nonlocal problems and their connection with inverse problems. Proceedings of the Third All-Russia scientific conference "Mathematical modelling and boundary value problems", Part 3: Differential equations and boundary value problems. Samara: Publishing of the Samara State Technical University, 2006. P. 190–192. (in Russian)
Samarskii A.A. On some problems of the modern theory of differential equations. Differential Equations. 1980. Vol. 16, no. 11. P. 1221–1228. (in Russian)
Solov'ev V.V. Determination of a source and coefficients in a parabolic equation in the multidimensional case. Differential Equations. 1995. Vol. 31, no. 6. P. 1060-1069. (in Russian)
Solov'ev V.V. Existence of solution as a "whole" of inverse problem of determining the source in a quasilinear equation of parabolic type. Differential Equations. 1996. Vol. 32, no. 4. P. 536–544. (in Russian)
Tikhonov A.N., Vasilyeva A.B., Sveshnikov A.Q. Differential equations. M.: Fizmatlit, 2005. 256 p. (in Russian)
Ahmadabadi M. Nili, Arab M., Maalek Ghaini F.M. The method of fundamental solutions for the inverse space-dependent heat source problem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2009. Vol. 33. P. 1231–1235. DOI: 10.1016/j.enganabound.2009.05.001.
Aida-zade K.R., Rahimov A.B. An approach to numerical solution of some inverse problems for parabolic equations. Inverse Problems in Science and Engineering. 2014. Vol. 22, no. 1. P. 96–111. DOI: 10.1080/17415977.2013.827184.
Bouziani A., Benouar N.-E. Probleme mixte avec conditions integrales pour une classe d’equations paraboliques. Comptes Rendus de l’Academiedes Sciences. Paris, Serie 1. 1995. Vol. 321. P. 1177–1182.
Farcas A., Lesnic D. The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable. Journal of Engineering Mathematics. 2006. Vol. 54. P. 375–388. DOI: 10.1007/s10665-005-9023-0.
Hasanov A. Identification of spacewise and time dependent source terms in 1d heat conduction equation from temperature measurement at a final time. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2012. Vol. 55. P. 2069–2080. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2011.12.009.
Hasanov A. An inverse source problem with single dirichlet type measured output data for a linear parabolic equation. Applied Mathematics Letters. 2011. Vol. 24. P. 1269–1273. DOI: 10.1016/j.aml.2011.02.023.
Hasanov A., Otelbaev M., Akpayev B. Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data. Inverse Problems in Science and Engineering. 2011. Vol. 19, no. 7. P. 895–1006. DOI: 10.1080/17415977.2011.565931.
Ismailov M.I., Kanca F., Lesnic D. Determination of a time-dependent heat source under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions. Applied Mathematics and Computation. 2011. Vol. 218. P. 4138–4146. DOI: 10.1016/j.amc.2011.09.044.
Ivanchov M.I. Inverse problems for equations of parabolic type. VNTL Publications, Lviv, Ukraine, 2003. 238 p.
Johansson T., Lesnic D. A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source. IMA Journal of Applied Mathematics. 2007. Vol. 72, no. 6. P. 748–760. DOI: 10.1093/imamat/hxm024.
Rothe E. Zweidimensionale parabolische randwertaufgaben als grenzfall eindimensionaler randwertaufgaben. Mathematische Annalen. 1930. Vol. 102, no. 1. P. 650–670.
Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. M. Dekker, New York, 2000. 709 p.
Yan L., Fu C.L., Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse heat source problem. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2008. Vol. 32. P. 216–222. DOI: 10.1016/j.enganabound.2007.08.002.
DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse200403