About One Numerical Algorithm for Solving Integral Equations of the First Kind in Space L2 Based on the Generalized Discrepancy Principle
Keywords:
regularization, integral equation, evaluation of inaccuracy, ill-posed problemAbstract
In this paper we consider a one-dimensional Fredholm integral equation of type I closed with a kernel having a solution in the class W12 [a,b] with homogeneous boundary conditions of the first kind at the point a. The problem is reduced to a new integral equation for the derivative of the desired solution. The resulting integral equations is subjected to finite-dimensional approximation of a special form, that allows to use the variational regularization Tikhonov’s method with the choice of regularization parameter according to the generalized discrepancy principle to reduce the problem to a special system of linear algebraic equations. A priori estimation of the accuracy of the resulting finite-stable approximate solution that takes into account the accuracy of the finite-dimensional approximation of the problem is also carried out. Using of this approach is made on the example of the problem of determining the phonon spectrum on its heat capacity, depending on the temperature, which is known to be reduced to integral equations of the first kind.References
Гончарский, А.В. Конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач / А.В. Гончарский, А.С. Леонов, А.Г. Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1974. – Т. 14, № 1. – С. 15–24.
Танана, В.П. Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном принципе невязки, при решении интегральных уравнений / В.П. Танана, А.И. Сидикова // Вычислит. методы и программирование. – 2015. – Т. 16, № 1. – C. 1–9.
Танана, В.П. Проекционные методы и конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач / В.П. Танана // Сиб. мат. жур. – 1975. – Т. 16, № 6. – С. 1301–1307.
Васин, В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов / В.В. Васин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1979. – Т. 19, № 1. – C. 11–21.
Данилин, А.Р. Об условии сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки / А.Р. Данилин // Изв. вузов матем. – 1980. – № 11. – С. 38–40.
Леонов, А.С. О связи метода обобщенной невязки и обобщенного принцпа невязки для нелинейных задач / А.С. Леонов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1982. – Т. 22, № 4. – C. 783–790.
Данилин, А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач / А.Р. Данилин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1982. – Т. 22, № 4. – C. 1123–1129.
Танана, В.П. Об одном проекционно-итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором / В.П. Танана // Доклады Академии наук. – 1975. – Т. 224, № 5. – С. 1028–1029.
Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А.Н. Тихонов // Доклады Академии наук. – 1963. – Т. 151, № 3. – С. 501–504.
Гончарский, А.В. Обобщенный принцип невязки / А.В. Гончарский, А.С. Леонов, А.Г. Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. – 1973. – Т. 13, № 2. – С. 294–302.
Танана, В.П. Методы решения операторных уравнений / В.П. Танана. – М.: Наука, 1981. – С. 156.
Танана, В.П. Оценка погрешности метода регуляризации А.Н. Тихонова при решении одной обратной задачи физики твердого тела / В.П. Танана, А.А. Ерыгина // Сиб. журн. индустр. математики. – 2014. – № 2. – С. 125–136.
