On the Accuracy of Numerical Methods for Solving the Volterra Equations of the Kind in the Inverse Heat Conduction Problems
DOI:
https://doi.org/10.14529/ctcr190102Keywords:
measurement challenge, heat transfer, integral model, Volterra equation, numerical method, method accuracyAbstract
The article is devoted to the study of the accuracy of methods for solving the measurement challenge that arises when determining the temperature inside an object subjected to the influence of an external control thermal effect. The approach to the construction of a numerical solution of the measurement problem associated with the problem of determining temperature is based on reducing the initial problem to solving an integral equation that are characterized the direct dependence of temperature on the measured values. The integral equation is obtained using the direct and inverse Laplace transforms with the involvement of the regularizing approach and the regularization teqhiqie. The resulting integral equation is the Volterra equations of the first kind of convolution type with a specific kernel. In this paper, we investigate the accuracy of numerical methods for solving an integral equation with a specific kernel from the point of view of the mechanisms for the implementation of machine arithmetic. Computing method schemas are based on the product integration method, squaring the middle rectangles. The article also presents the results of a study of the error of the computational scheme of the order-optimal method based on the application of Fourier transforms and the projection regularization method. The method is used to directly solve the original problem without redusing it to an integral model and allows one to obtain numerical solutions with guaranteed accuracy. In order to obtain experimental estimates of the accuracy of numerical methods and a comparative analysis of the machine accuracy of the integral approximation methods and the order-optimal method, a computational experiment was carry out. The experimental results indicate that it is possible to obtain the numerical solutions of the measurement challenge with a high level of accuracy.
References
Идентификация метаматематических моделей теплопереноса в разлагающихся материалах. / О.М. Алифанов, С.А. Будник, А.В. Ненарокомов, А.В. Нетелев // Тепловые процессы в технике. – 2011. – № 8. – С. 338–347.
Павлюченков, И.А. О решении сопряженной задачи тепло- и массопереноса для слитка, полученного методом электрошлаковой наплавки жидким металлом / И.А. Павлюченков, С.А. Усенко // Известия высших учебных заведений. Черная Металлургия. – 2012. – № 55 (2). – С. 29–31.
Лукин, С.В. Оптимизация вторичного охлаждения в машине непрерывного литья заготовок / С.В. Лукин, А.В. Гофман, Н.Г. Баширов // Вестник Череповецкого государственного университета. – 2010. – № 1 (24). – С. 115–120.
Joachimiak, M. Solution of inverse heat conduction equation with the use of Chebyshev polynomials / M. Joachimiak, A. Frackowiak, M. Cialkowski // Archives of Thermodynamics. – 2016. – Vol. 37, no. 4. – P. 73–88. DOI: 10.1515/aoter-2016-0028
Beck, J.V. Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems / J.V. Beck, B. Blackwell, C.R. St. Clair, jr. – New York: Wiley-Interscience, 1985. – 308 р.
Yaparova, N.M. Method for temperature measuring inside a cylindrical body based on surface measurements / N.M. Yaparova, A.L. Shestakov // 14th IMEKO TC10 Workshop on Technical Diagnostics 2016: New Perspectives in Measurements, Tools and Techniques for Systems Reliability, Maintainability and Safety. – 2016 – P. 8–12.
Bulatov, M.V. An integral method for the numerical solution of nonlinear singular boundary value problems / M.V. Bulatov, P.M. Lima, Do.T. Thanh // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». – 2015. – Т. 8, № 4. – С. 5–13. DOI: 10.14529/mmp150401
Shestakov, A.L. Modal Synthesis of a measurement transducer / A.L. Shestakov // Проблемы управления и информатики. – 1995. – № 4. – С. 67–75.
Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 799 с.
Васин, В.В. Некорректные задачи с априорной информацией / В.В. Васин, А.Л. Агеев. – Екатеринбург: Наука, 1993. – 264 с.
Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. – Новосибирск: Сибир. науч. изд-во, 2009. – 457 с.
Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. – М.: Наука, 1980. – 287 с.
Табаринцева, Е.В. О решении граничной задачи для параболического уравнения методом вспомогательных граничных условий / Е.В. Табаринцева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Физика». – 2011. – № 32 (249). – С. 68–76.
Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. – М.: Наука, 1990. – 232 с.
Yaparova, N.M. Numerical methods for solving a boundary value inverse heat conduction problem / N.M. Yaparova // Inverse Problems in Science and Engineering. – 2014. – Vol. 22, no. 5. – P. 832–847. DOI: 10.1080/17415977.2013.830614
Апарцин, А.С. О применении различных квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм / А.С. Апарцин // ифференциальные и интегральные уравнения. – Иркутск: ИГУ, 1973. – С. 107–116.
Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. – Киев: Наукова думка, 1986. – 543 с.
Солодуша, С.В. Применение численных методов для уравнений Вольтерра I рода, возникающих в обратной граничной задаче теплопроводности / С.В. Солодуша // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. – 2015. – Т. 11. – C. 96–105.
Бакушинский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. – М.: Из-во Моск. гос. ун-та, 1989. – 199 с.
Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2006. – Т. 9, № 4. – C. 353–368.
