Method for Determining the Temperature State of a Cylinder at the Heat Treatment with Incomplete Initial Data
DOI:
https://doi.org/10.14529/ctcr190205Keywords:
heat transfer, inverse problem, regularization method, data processing method, computational stability, error estimateAbstract
The paper is devoted to the problem of determining the temperature inside the cylinder based on the surface measurements. The main characteristics of the material such as specific heat, thermal conductivity and material density depend on the temperature at each point of the body. This problem appears in complex heat treatment of products. The mathematical model of heat transfer is presented as nonlinear heat conduction equation with unknown initial condition. In this problem, both the Dirichlet and Neumann boundary conditions are given. The computational scheme of the method is based on the using of finite-difference equations and regularization technique. This approach allows to obtain the temperature inside cylindrical body and then to determine the unknown temperature on the cylinder axis. We investigate the stability of computational method and obtain the dependence of stability on the discretization steps and level error of the initial data. The reliability and the efficiency of the method were confirmed by results of computational experiments.
References
Алифанов, О.М. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов. – М.: Машиностроение, 1988. – 280 с.
Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. – М.: Едиториал УРСС, 2009. – 784 с.
Шестаков, А.Л. Методы теории автоматического управления в динамических измерениях / А.Л. Шестаков. – Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2013. – 257 с.
Мартинсон, Л.К. Температурное поле цилиндрического тела в режиме периодического разогрева / Л.К. Мартинсон, О.Ю. Чигирёва // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». – 2015. – № 3 (60). – С. 88–98.
Лукин С.В. Режим нагрева и термостатирования слябов в печи при горячем посаде / С.В. Лукин // Металлург. – 2018. – № 7. – С. 54–58.
Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. – М.: Наука, 1980. – 286 с.
New approaches to error estimation to Ill-posed problems with application to inverse problems of heat conductivity / K.Y. Dorofeev, N.N. Nikolaeva, V.N. Titarenko, A.G. Yagola // Journal of Inverse and Ill-posed problems. – 2002. – Vol. 10, no. 2. – P. 155–169. DOI: 10.1515/jiip.2002.10.2.155
Кабанихин, С.И. Прямые и итерационные методы решения обратных и некорректных задач / С.И. Кабанихин, М.А. Шишленин // Сибирские электронные математические известия. – 2008. – Т. 5. – С. 595–608.
Солодуша, С.В. Численное решение обратной граничной задачи теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода / С.В. Солодуша, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2015. – Т. 18, № 3. – С. 327–335.
Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. – СПб.: Лань. – 2009. – 608 с.
Вабищевич, П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции / диффузии / П.Н. Вабищевич // Дифференциальные уравнения. – 1994 – Т. 30, № 3. – С. 503–515.
Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – Изд-во МГУ, 1999. – 799 с.
Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. – Изд-во МГУ, 1990. – 115 с.
Табаринцева, Е.В. Об оценке точности метода вспомогательных граничных условий при решении граничной обратной задачи для нелинейного уравнения / Е.В. Табаринцева // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2018. – Т. 21, № 3. – С. 293–313. DOI: 10.1134/s1995423918030059
Yaparova, N. Method for temperature measuring in the rod with heat source under uncertain initial temperature / N. Yaparova // 2016 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing, ICIEAM 2016. – Proceedings 7911716. DOI: 10.1109/ICIEAM.2016.7911716
Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. – M.: Наука, 1967. – 736 с.
Марочник стали и сплавов / А.С. Зубченко, М.М. Колосков, Ю.В. Каширский и др.; под общ. ред. А.С. Зубченко. – М.: Машиностроение, 2003. – 784 с.
Лившиц, Б.Г. Физические свойства металлов и сплавов / Б.Г. Лившиц, В.С. Крапошин, Я.Л. Линецкий. – М.: Металлургия, 1980. – 320 с.
Япарова, Н.М. Численный метод решения обратной задачи с неизвестными начальными условиями для нелинейного уравнения теплопроводности / Н.М. Япарова // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия «Вычислительная математика и информатика». – 2016. – Т. 5, № 2. – С. 43–58. DOI: 10.14529/cmse160204
Исаченко, В.П. Теплопередача / В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел. – М.: Энергия, 1975. – 488 с.
