Применение разрывного метода галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках

R. V. Zhalnin; M. E. Ladonkina; V. F. Masyagin; V. F. Tishkin

doi:10.14529/mmp160313

Authors

R. V. Zhalnin Ogarev Mordovia State University
M. E. Ladonkina Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS
V. F. Masyagin Ogarev Mordovia State University
V. F. Tishkin Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS

DOI:

https://doi.org/10.14529/mmp160313

Keywords:

parabolic equations, anisotropic media, discontinuous Galerkin method, сonvergence and accuracy of the method.

Abstract

A new numerical algorithm for solving parabolic initial-boundary values problems in anisotropic media is proposed. The algorithm is based on Galerkin method with discontinuous basic functions on triangle meshes. The 2nd order derivatives can't be directly harmonized in a weak variational formulation using the discontinuous functions' space. Hence additional variables are introduced to reduce the initial 2nd-order equation to the system of the 1st-order equations. The special feature of this method is in consideration of additional variables within a dual mesh. The dual mesh consists of median control values and is conjugate to the initial triangle mesh. The stream values on the element boundaries are calculated with addition of stabilizing additives. The method is studied basing on the example of 2-dimensional parabolic boundary problems. Convergence and accuracy of the method are investigated. Calculations in model problem show the possibility to use the method discussed for solving parabolic problems in anisotropic media on triangle meshes.

Author Biographies

R. V. Zhalnin, Ogarev Mordovia State University

кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой, кафедра прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики

M. E. Ladonkina, Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

V. F. Masyagin, Ogarev Mordovia State University

преподаватель,кафедра прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики

V. F. Tishkin, Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS

доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе

References

Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn // Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. - 1998. - V. 1697. - P. 151-268.

Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. - М.: Мир, 1988.

Жалнин, Р.В. О применении разрывного метода Галеркина для численного решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках / Р.В. Жалнин, В.Ф. Масягин, Е.Н. Панюшкина // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - Т. 6. - URL: www.science-education.ru/113-10929

Ладонкина, М.Е. Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина / М.Е. Ладонкина, О.А. Неклюдова, В.Ф. Тишкин // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 12. - С. 124-128.

Bassi, F. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier - Stokes Equations / F. Bassi, S. Rebay // Journal of Computational Physics. - 1997. - V. 131. - P. 267-279.

Arnold, D.N. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems / D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L.D. Marini // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2002. - V. 29. - P. 1749-1779.

Cockburn, B. Runge - Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn, C.W. Shu // Journal of Scientific Computing. - 2001. - V. 3. - P. 173-261.

Ладонкина, М.Е. О связи разрывного метода Галеркина и методов типа Годунова высокого порядка точности / М.Е. Ладонкина, В.Ф. Тишкин // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2014. - № 49. - 10 с. - URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2014-49