Применение разрывного метода галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках

Руслан Викторович Жалнин; Марина Евгеньевна Ладонкина; Виктор Федорович Масягин; Владимир Федорович Тишкин

doi:10.14529/mmp160313

Авторы

Руслан Викторович Жалнин Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева
Марина Евгеньевна Ладонкина Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Виктор Федорович Масягин Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева
Владимир Федорович Тишкин Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

DOI:

https://doi.org/10.14529/mmp160313

Ключевые слова:

параболические уравнения, анизотропные среды, метод Галеркина с разрывными базисными функциями, сходимость и точность численного метода.

Аннотация

Предлагается новый численный алгоритм решения параболических начально-краевых задач в анизотропных средах на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями на треугольных сетках. Для применения метода Галеркина с разрывными базисными функциями для решения параболического уравнения с известными начально-краевыми условиями необходимо преобразовать его к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся вспомогательные переменные, представляющие собой компоненты потока. Характерной особенностью данного метода является рассмотрение вспомогательных переменных на двойственной сетке. Двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов и является сопряженной к исходной треугольной сетке. Потоковые значения величин на границе элементов предлагается вычислять с добавлением стабилизирующих добавок. Исследование численной методики проводится на примере решения двумерных параболических начально-краевых задач. Исследован вопрос сходимости и точности численной методики. Приведенные численные результаты показывают возможность применения предлагаемой методики для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках.

Биографии авторов

Руслан Викторович Жалнин, Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева

кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой, кафедра прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики

Марина Евгеньевна Ладонкина, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Виктор Федорович Масягин, Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарева

преподаватель,кафедра прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики

Владимир Федорович Тишкин, Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе

Библиографические ссылки

Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn // Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. - 1998. - V. 1697. - P. 151-268.

Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. - М.: Мир, 1988.

Жалнин, Р.В. О применении разрывного метода Галеркина для численного решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных разнесенных сетках / Р.В. Жалнин, В.Ф. Масягин, Е.Н. Панюшкина // Современные проблемы науки и образования. - 2013. - Т. 6. - URL: www.science-education.ru/113-10929

Ладонкина, М.Е. Исследование влияния лимитера на порядок точности решения разрывным методом Галеркина / М.Е. Ладонкина, О.А. Неклюдова, В.Ф. Тишкин // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 12. - С. 124-128.

Bassi, F. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier - Stokes Equations / F. Bassi, S. Rebay // Journal of Computational Physics. - 1997. - V. 131. - P. 267-279.

Arnold, D.N. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems / D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L.D. Marini // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2002. - V. 29. - P. 1749-1779.

Cockburn, B. Runge - Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn, C.W. Shu // Journal of Scientific Computing. - 2001. - V. 3. - P. 173-261.

Ладонкина, М.Е. О связи разрывного метода Галеркина и методов типа Годунова высокого порядка точности / М.Е. Ладонкина, В.Ф. Тишкин // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2014. - № 49. - 10 с. - URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2014-49