Устойчивость факторизационных множителей канонической факторизации Винера–Хопфа матриц-функций

Аннотация

Задача факторизации Винера–Хопфа матриц-функций является одной из самых востребованных задач математического анализа. Однако, ее применение сдерживается тем, что к настоящему времени в общем случае нет методов конструктивного построения факторизации. Кроме того, задача является, вообще говоря, неустойчивой, то есть малое возмущение исходной матрицы-функции может привести к изменению целочисленных инвариантов задачи (частных индексов), а факторизационные множители исходной и возмущенной матриц-функций могут быть не близкими. Это означает, что зависимость факторов от возмущения не является непрерывной. Положение осложняется тем, что факторизационные множители находятся неединственным образом, и потому перед сравнением факторизаций их требуется пронормировать. Эта задача также не решена в общем случае. В известной теореме М.А. Шубина проблема нормировки обходится следующим образом: в ней доказано, что если исходная и возмущенная матрицы-функции имеют одинаковые наборы частных индексов, то существуют их факторизации с близкими факторизационными множителями. Ясно, что в данном случае провести эффективную оценку степени их близости нельзя. В предлагаемой работе теорема М.А. Шубина уточняется для случая, когда исходная матрица-функция допускает каноническую факторизацию. В этом случае указано, как должны быть пронормированы канонические факторизации двух достаточно близких матриц-функций для того, чтобы их факторизационные множители также были достаточно близки. Главным результатом работы является получение явных оценок, в терминах факторизации исходной матрицы-функции, для абсолютной погрешности при приближенном вычислении факторов. Оценки получены с использованием техники теплицевых операторов.