Об одной задаче определения правой части интегро-дифференциального уравнения в частных производных

Айтбай Омонович Мамытов

Аннотация


Как нам известно, в обратной задаче кроме искомого «основного» решения задачи (т. е. решения прямой задачи) нам неизвестны какие-либо входящие в прямую задачу. Требуется найти и этих неизвестных, поэтому их тоже мы будем называть решениями обратной задачи. Для определения этих неизвестных в обратной задаче к заданным уравнениям добавляется какая-либо дополнительная информация о решении прямой задачи. Дополнительную информацию называют данными обратной задачи. В предлагаемой статье рассматривается конкретное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с известными начальными и краевыми условиями. Для простоты исследовали однородные краевые условия, так как с помощью линейного преобразования всегда неоднородные краевые условия можно привести к однородным. В правой части уравнения присутствуют n неизвестных функций:i(t), i = 1,2,…,n. Для определения этих неизвестных функций:i(t), i = 1, 2,…, n в обратной задаче имеется дополнительная информация о решении прямой задачи, т.е. нам известны значения искомого «основного» решения задачи в внутренних отрезках исследуемой области, т. е. u(t,xi) = gi(t), t[0,T], xi(0,1), i = 1, 2,…, n. Задача исследуется в пря­мо­уголь­нике, расположенном в первой четверти декартовой системы координат. Для решения обратной задачи разработан алгоритм, в результате найдены достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи по восстановлению правой части в интегро-дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка.При решении об­рат­ной задачи использованы методы: преобразования, функций Грина, решения систем линейных интегральных уравнений Вольтерра. В итоге обратную задачу мы приводим к системе (+ 1) линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, решение которого при малом 0 < Tсуществует и единственно. Рассматриваемую обратную задачу можно называть обратной задачей об источнике.


Ключевые слова


обратная задача об источнике, интегро-дифференциальное уравнение с частными производными четвертого порядка, система интегральных уравнений Вольтерра, функция Грина, резольвента

Полный текст:

PDF


DOI: http://dx.doi.org/10.14529/mmph210304

Ссылки

  • На текущий момент ссылки отсутствуют.