Analysis of the Boundary Value Problem for the Poisson Equation

Аннотация

Смешанная краевая задача для уравнения Пуассона рассматривается в ограниченной плоской области. Проводится продолжение этой задачи через границу с условием Дирихле до прямоугольной области. Предлагается рассмотрение продолженной задачи в операторном виде. Для решения продолженной задачи формулируется метод итерационных расширений в операторном виде. Продолженная задача в операторном виде рассматривается на конечномерном подпространстве. Для решения предыдущей задачи формулируется метод итерационных расширений в операторном виде на конечномерном подпространстве. Продолженная задача приводится в матричном виде. Для решения продолженной задачи в матричном виде формулируется метод итерационных расширений в матричном виде. Показывается, что в предложенных вариантах метода итерационных расширений относительные ошибки сходится в норме более сильной, чем энергетическая норма расширенной задачи со скоростью геометрической прогрессии. Итерационные параметры в указанных методах выбираются с помощью метода минимальных невязок. Указываются условия, достаточные для сходимости применяемых итерационных процессов. Выписан алгоритм, реализующий метод итерационных расширений в матричном виде. В данном алгоритме производится автоматический выбор итерационных параметров и указывается критерий остановки при достижении оценки требуемой точности. Приводятся примеры применения метода итерационных расширений для решения задач на ЭВМ.